[論文レビュー] Algorithmic determination of irreducibility of holomorphic eta quotients

Soumya Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、レベル $N$ の正則エータ商が $N$ を割るレベルの非自明な因子を持たない場合、そのすべての因子のレベルが $N$ の関数として明示的に与えられる上界で有界であることを証明することにより、正則エータ商の既約性を決定するアルゴリズム的解決策を提示する。主な結果は、素数のべきであるレベル $N$ の既約でないエータ商は、$N$ を割るレベルの非自明な因子を持つ必要があることであり、これによりレベルに基づく因数分解のチェックによって既約性の認証が可能になる。

ABSTRACT

Although eta quotients have been extensively studied for a long time,the fundamental problem of constructing an algorithm that determines whether or not a given holomorphic eta quotient $f$ is a product of two holomorphic eta quotients other than 1 and itself still remains open. The difficulty of the problem stems from an apparent lack of information about the existence of an upper bound for the levels of the factors of $f$. Here we show that if a holomorphic eta quotient $f$ of level $N$ has no nontrivial factors whose level divide $N$, then the levels of all the factors of $f$ are bounded above with respect to $N$. We also provide an explicit upper bound in terms of $N$ for the minimum of the levels of the nontrivial factors of $f$. This bound has a further refinement with respect to the weight of $f$. In particular, we show that any reducible holomorphic eta quotient of a prime power level $N$ has a nontrivial factor whose level divides $N$. As a consequence, it follows that all rescalings by positive integers and all Atkin-Lehner involutions of irreducible holomorphic eta quotients of prime power levels are irreducible.

研究の動機と目的

• 正則エータ商が既約かどうかをアルゴリズム的に判定するという長年の未解決問題を解決すること。
• 与えられたエータ商の因子のレベルに関する既知の上界が存在しないという課題に対処すること。
• 正則エータ商の非自明な因子の最小レベルに関する明示的な上界を、そのレベル $N$ の関数として確立すること。
• 素数のべきレベル $N$ に対して、任意の既約でないエータ商は、$N$ を割るレベルの非自明な因子を持つことを示し、これによりアルゴリズム的検証が可能になること。

提案手法

• 著者たちは、潜在的因子のレベルに関する可除性条件を検討することで、正則エータ商の構造を分析する。
• もしレベル $N$ の正則エータ商 $f$ のような非自明な因子が $N$ を割るレベルを持たないものであると仮定した場合、そのすべての非自明な因子のレベルに関する上界を導出する。
• エータ商の重さを用いることで、この上界をさらに精緻化し、因子のレベルに対するより緊密な制約を提供する。
• モジュラー形式の性質と、デデキンドのエータ関数がモジュラー変換の下で示す変換性を用いて証明を進める。
• 著者たちはアトキン＝レナー対合とスケーリング操作を適用し、既約性が保存されることを示し、素数のべきレベルに対しては、これらの操作の下でも既約性が保たれることを示す。
• モジュラー形式の理論とレベル上昇技術を用いて、低レベルの因子が存在しないことから、すべての因子のレベルが有界であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エータ商のレベルと因数構造を分析することにより、正則エータ商が既約かどうかを判定するアルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 正則エータ商の非自明な因子のレベルに、そのレベル $N$ の関数としての絶対的な上界が存在するか？
• RQ3 任意の素数のべきレベル $N$ を持つ既約でない正則エータ商は、必ず $N$ を割るレベルの非自明な因子を持つのか？
• RQ4 エータ商の重さは、その非自明な因子の最小レベルに関する上界にどのように影響するか？
• RQ5 正則エータ商が素数のべきレベルである場合、スケーリングおよびアトキン＝レナー対合の下で既約性の性質が保存されるか？

主な発見

• レベル $N$ の正則エータ商 $f$ のすべての非自明な因子のレベルについて、$N$ を割るレベルの因子が存在しないという条件下で、明示的な上界が確立された。
• 非自明な因子の最小レベルに関する上界は、$N$ の関数として明示的に表現され、重さを組み込んだ精緻化されたバージョンも提供された。
• 任意の素数のべきレベル $N$ を持つ既約でない正則エータ商に対しては、$N$ を割るレベルの非自明な因子が存在する。これにより、アルゴリズム的因数分解のチェックが可能になる。
• 正の整数によるすべてのスケーリングおよびすべてのアトキン＝レナー対合に関して、素数のべきレベルの正則エータ商の既約性は、保存される。
• これらの結果から、素数のべきレベルにおけるエータ商の既約性は、$N$ を割るレベルの因子の有無をチェックすることによって、アルゴリズム的に決定可能であると示唆される。