[論文レビュー] Strength conditions, small subalgebras, and Stillman bounds in degree $\leq 4$

Tigran Ananyan, Melvin Hochster|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小規模な部分代数と正則列の生成を制御する重要な関数 $^\eta\!A(n,d)$ と $^\eta\!B(n,d)$ を導入することで、次数 2, 3, 4 におけるスティルマン予想に対する明示的・閉形式の上限を与える。$n$ 個の二次形式に対して、$R/I$ の射影次元は $2^{n+1}(n-2)+4$ 未満であることが示され、$n$ に制限がない二次形式に対して、これまでで最も良い上限が得られる。結果は、次数 4 に対しては 2 および 3 でない特性の代数的に閉じた体、次数 2 および 3 に対しては任意の特性の体に対して有効である。

ABSTRACT

In [2], the authors prove Stillman's conjecture in all characteristics and all degrees by showing that, independent of the algebraically closed field $K$ or the number of variables, $n$ forms of degree at most $d$ in a polynomial ring $R$ over $K$ are contained in a polynomial subalgebra of $R$ generated by a regular sequence consisting of at most ${}^η\!B(n,d)$ forms of degree at most $d$: we refer to these informally as "small" subalgebras. Moreover, these forms can be chosen so that the ideal generated by any subset defines a ring satisfying the Serre condition R$_η$. A critical element in the proof is to show that there are functions ${}^η\!A(n,d)$ with the following property: in a graded $n$-dimensional $K$-vector subspace $V$ of $R$ spanned by forms of degree at most $d$, if no nonzero form in $V$ is in an ideal generated by ${}^η\!A(n,d)$ forms of strictly lower degree (we call this a {\it strength} condition), then any homogeneous basis for $V$ is an R$_η$ sequence. The methods of \cite{AH2} are not constructive. In this paper, we use related but different ideas that emphasize the notion of a {\it key function} to obtain the functions ${}^η\!A(n,d)$ in degrees 2, 3, and 4 (in degree 4 we must restrict to characteristic not 2, 3). We give bounds in closed form for the key functions and the ${}^η\!A$ functions, and explicit recursions that determine the functions ${}^η\!B$ from the ${}^η\!A$ functions. In degree 2, we obtain an explicit value for ${}^η\!B(n,2)$ that gives the best known bound in Stillman's conjecture for quadrics when there is no restriction on $n$. In particular, for an ideal $I$ generated by $n$ quadrics, the projective dimension $R/I$ is at most $2^{n+1}(n - 2) + 4$.

研究の動機と目的

• 次数 2, 3, 4 におけるスティルマン予想に対する明示的かつ構成的上限を提供すること。[2] の非構成的証明を拡張する。
• 小規模な部分代数と正則列の生成を制御する重要な関数 $^\eta\!A(n,d)$ と $^\eta\!B(n,d)$ を定義し、計算すること。
• 次数 2, 3, 4 における $^\eta\!A(n,d)$ の閉形式表現を導出し、$^\eta\!B(n,d)$ については再帰的公式を導出すること。
• $n$ 個の二次形式によって生成されるイデアルに対する既知のスティルマン界を改善し、射影次元に対して最もきつい既知の上界を与えること。

提案手法

• $k$-コラプスと $\kappa$-ストロング部分空間の概念を導入し、同次基底が正則列をなすことを保証する強度条件を定義する。
• [2] の非構成的アプローチとは異なり、特に次数 4 において、重要な関数に基づく新しい手法を用いて $^\eta\!A(n,d)$ を導出する。
• 次数 2, 3, 4 における $^\eta\!A(n,d)$ の閉形式表現を導出し、$A_3(2n+\eta)$ と次数 4 のための関数 $\mathfrak{K}_4$ を含む明示的公式を提示する。
• $^\eta\!B(n,d)$ と $^\eta\!A(n,d)$ の間の再帰的関係を確立し、正則列によって生成される小規模な部分代数のサイズの計算を可能にする。
• 理論を応用して、$n$ 個の二次形式に対して射影次元の上限を $2^{n+1}(n-2)+4$ として計算し、任意の体に対して有効であることを示す。
• 次数 4 においては、手法上の技術的制限のため、特性が 2 および 3 でない代数的に閉じた体に制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 2, 3, 4 における $^\eta\!A(n,d)$ の最良の明示的上限は何か？ また、閉形式で表現可能か？
• RQ2 次数 $d$ の $n$ 個の形式によって生成されるイデアルに対するスティルマン界を、特に $d=2$ の場合に明示的かつ構成的に得られるか？
• RQ3 固定された $d$ に対して、$^\eta\!A(n,d)$ が $n$ の多項式で有界になるか？ もしそうなら、その多項式の次数は何か？
• RQ4 $n$ 個の二次形式に対する $R/I$ の射影次元を、以前の結果よりもきめ細かく上界で抑えられるか？
• RQ5 $^\eta\!B(n,d)$ の最小可能な値は何か？ 一般に $^\eta\!B(n,d)$ に対して多項式の上界が存在するか？

主な発見

• $n$ 個の二次形式に対して、$R/I$ の射影次元は $2^{n+1}(n-2)+4$ 未満であることが示され、$n$ に制限がない二次形式に対して、これまでで最も良い上限が得られる。
• 次数 2 において、$^\eta\!B(n,2)$ に対して明示的な値が与えられ、正則列によって生成される小規模な部分代数のサイズに対するきつい上限が得られる。
• 特性が 2 および 3 でない体の下で次数 4 に対して、$^\eta\!A(n,4)$ に対して $\mathfrak{K}_4$ と $A_3(2n+\eta)$ を含む閉形式表現が得られ、$A_3(2n+\eta) = 2(8n+4\eta-1)(2n+\eta-1)$ である。
• 本稿は、$^\eta\!B(n,d)$ と $^\eta\!A(n,d)$ の間の再帰的関係を確立し、スティルマン界のアルゴリズム的計算を可能にする。
• 著者らは、固定された $d$ に対して $^\eta\!A(n,d)$ と $^\eta\!B(n,d)$ が $n$ に対して多項式的成長であると予想しており、$^\eta\!A(n,d)$ は $C_{d,\eta}n^{\lambda(d)}$ で、$^\eta\!B(n,d)$ は $C_d n^d$ で有界であると想定する。
• 本稿は、[31] における $d=2$ のイデアル構成が $h(n-h+1)$ の上限に達することを示し、これが鋭いかどうかを支持する。また、二次イデアルの射影次元に関する予想 11.4 を裏付ける。