[論文レビュー] Algorithms for discovering and proving theorems about permutation patterns

Hjalti Magnússon, Henning Úlfarsson|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、入力順列における禁止パターンの分析を通じて、メッシュパターン定理を自動で発見するアルゴリズムであるBiSCを紹介する。これにより、4312パターンの線形時間認識が可能となり、ソーティング装置の前像アルゴリズムが一般化され、West-3スタックソート可能な順列のような複雑なパターン回避クラスについて完全に自動で証明可能となる。

ABSTRACT

We present an algorithm, called BiSC, that describes the patterns avoided by a given set of permutations. It automatically conjectures the statements of known theorems such as the descriptions of stack-sortable (Knuth 1975) and West-2-stack-sortable permutations (West 1990), smooth (Lakshmibai and Sandhya 1990) and forest-like permutations (Bousquet-Melou and Butler 2007), and simsun permutations (Branden and Claesson 2011). The algorithm has also been used to discover new theorems and conjectures related to Young tableaux, Wilf-equivalences and sorting devices. We further give algorithms to prove a complete description of preimages of pattern classes under certain sorting devices. These generalize an algorithm of Claesson and Ulfarsson (2012) and allow us to prove a linear time algorithm for finding occurrences of the pattern 4312.

研究の動機と目的

• 禁止メッシュパターンを用いて順列クラスを記述する定理を自動で発見するアルゴリズムの開発を目的とする。
• 古典的パターンだけでは不十分な、複雑なパターン回避条件を特定する課題に取り組む。特に、長さ>3の非自明なパターンにおいて、古典的パターンが不十分である場合を想定する。
• ソーティング装置の前像アルゴリズムをメッシュパターンクラスに一般化し、既知および新規の定理について完全に自動で証明可能とする。
• 4312パターンのような長さ>3の非自明なパターンを線形時間で認識するアルゴリズムの設計を目的とする。これは、従来の長さ>3の非自明なパターンに対してO(n log n)であった手法に比べ、顕著な進歩である。

提案手法

• BiSCは、以前に禁止されたパターンを含まない欠落した順列から出発し、反復的に禁止パターンをベース集合に追加するグリーディベース発見アプローチを用いる。
• 古典的パターンでは欠落した順列を説明できない場合、BiSCは、禁止順列と許可順列を区別するための重要なシャドー領域を特定することで、メッシュパターンを導入する。
• アルゴリズムは、部分文字列を正規化してパターン出現を検出するために「フラットテニング」の概念を活用する。
• スタック、キュー、ポップスタックなどのソーティング装置の前像アルゴリズムは、逆転や補完を含む線形時間作用素の合成を用いて一般化される。
• 記号計算とパターン認識を組み合わせることで、ソーティング操作における前像集合の完全な記述を推論する。
• 主なイノベーションは、スタックの前像アルゴリズムを特定のメッシュパターンクラスに拡張し、West-3スタックソート可能な順列の完全な自動証明を可能にしたことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力として順列の例の集合のみが与えられた場合、アルゴリズムが自動的に禁止メッシュパターンを用いた順列クラスの定理を発見できるか？
• RQ2 古典的パターンでは捉えきれない複雑な回避条件を捉えるために、メッシュパターンを体系的に推論する方法は何か？
• RQ3 ソーティング装置の前像アルゴリズムをメッシュパターンクラスに一般化できるか。これにより完全に自動で証明が可能になるか？
• RQ4 4312のような長さ>3の非自明なパターンを線形時間で認識するアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ5 このフレームワークは、West-3スタックソート可能な順列の特徴付けのような既知の結果を自動的に証明するために拡張可能か？

主な発見

• BiSCは、入力順列のみを用いて、スタックソート可能、West-2スタックソート可能、スムーズ、フォレストライク、およびスミン順列に関する既知の定理を再発見した。
• アルゴリズムは、ヤング盤、ウィルフ同値、およびソーティング装置に関する新しい定理を発見し、その探索的パワーを示した。
• 4312パターンを線形時間で認識するアルゴリズムが発見され、このフレームワークを用いて証明された。これは、長さ>3の非自明なパターンに対して、初めての線形時間認識アルゴリズムである。
• スタックの前像アルゴリズムが特定のメッシュパターンクラスを扱えるように拡張され、West-3スタックソート可能な順列の特徴付けについて完全に自動で証明可能となった。
• フレームワークは、定理3.3（順列が4312を回避するための必要十分条件は、S∘r∘c∘Qの合成がそれをソートすること）を正当に証明し、線形時間認識アルゴリズムを導いた。
• アルゴリズムはSageで実装されており、公開されており、再現可能性および順列パターン理論分野におけるさらなる研究を支援する。