[論文レビュー] All about the Grothendieck construction

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、∞-圏論におけるグロテンディーク構成について包括的な取り扱いを行い、余極限のボウスフィールド–カーン式の公式を確立し、定理BnおよびCnを∞-圏へ一般化し、自然変換および引き戻しの下での関手的性質を同時に捉えるグローバル余極限関手を導入する。主な貢献は、∞-圏の圏 (Cat∞)Th におけるモデル構造を構成し、その構造が空間の∞-圏を提示するとともに、グロテンディーク構成のホモトピー的性質を明確にするものである。

ABSTRACT

We provide, among other things: (i) a Bousfield--Kan formula for colimits in $\infty$-categories (generalizing the 1-categorical formula for a colimit as a coequalizer of maps between coproducts); (ii) $\infty$-categorical generalizations of Barwick--Kan's Theorem B$_n$ and Dwyer--Kan--Smith's Theorem C$_n$ (regarding homotopy pullbacks in the Thomason model structure, which themselves vastly generalize Quillen's Theorem B); and (iii) an articulation of the simultaneous and interwoven functoriality of colimits (or dually, of limits) for natural transformations and for pullback along maps of diagram $\infty$-categories.

研究の動機と目的

• 1-圏から∞-圏への余極限のボウスフィールド–カーン風の公式を構築し、古典的な余同調子式を一般化する。
• 2-バーイック–カンの定理Bnおよびドワイアー–カン–スミスの定理Cnを、∞-圏およびトーマソンモデル構造の文脈に拡張する。
• 3-ラックス自然変換とグロテンディーク構成を用いて、cocompleteな∞-圏における余極限のグローバル関手的性質を形式化する。
• 4-∞-圏の圏 (Cat∞)Th にトーマソンモデル構造を構成し、その構造が空間の∞-圏を提示し、群伏完備化と整合するようにする。

提案手法

• 1-グロテンディーク構成のモデルに依存しない基盤として、クライスケータリーにおけるアンストレート化構成を用いる。
• 2-Cat∞ におけるトーマソンモデル構造を適用し、群伏完備化を用いて空間の∞-圏を提示する。
• 3-図式圏の写像に沿った自然変換および引き戻しの下での関手的性質を符号化する、グローバル余極限関手 Lax(C) → C を構成する。
• 4-外部ホーン埋め込みに対する上昇性質によって、(Cat∞)Th におけるファイブレーションを特徴づけ、そのような写像が同値を保存し、高次ホモトピー的構造を保つことを示す。
• 5-(Cat∞)Th におけるファイブレーションが群伏完備化で同値を誘導するならば、それ自身が同値であることを証明し、重要な完全性結果を確立する。
• 6-古典的定理（例：クイレンの定理B）の∞-圏的類似を活用し、ホモトピー圏におけるファイバーと引き戻しを記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-ボウスフィールド–カーンの余極限公式は、1-圏から∞-圏へどのように一般化可能か？
• RQ2 2-ホモトピー引き戻しと群伏完備化の文脈において、バーイック–カンの定理Bnおよびドワイアー–カン–スミスの定理Cnの∞-圏的類似は何か？
• RQ3 3-図式∞-圏の自然変換および引き戻しの下での余極限の同時関手的性質は、どのように形式化可能か？
• RQ4 4-∞-圏の圏におけるトーマソンモデル構造 (Cat∞)Th の構造は何か？また、古典的トーマソンモデル構造 Cat とどのように関係するか？
• RQ5 5-関手が∞-圏的文脈で性質BnまたはCnを満たすために必要な条件は何か？

主な発見

• 1-論文は、∞-圏における余極限のボウスフィールド–カーン公式を確立し、1-圏における余同調子式のホモトピー余極限構成として一般化する。
• 2-定理BnおよびCnの∞-圏的一般化を証明し、BnまたはCn条件を満たす関手の下での群伏完備化のファイバーと引き戻しを記述する。
• 3-グローバル余極限関手 Lax(C) → C が構成され、自然変換および図式圏の写像に沿った引き戻しの下での余極限の関手的性質を符号化する。
• 4-(Cat∞)Th が空間の∞-圏を提示することを示し、その弱同値は群伏完備化で同値を誘導する写像に正確に一致する。
• 5-(Cat∞)Th におけるファイブレーションは外部ホーン埋め込みに対する上昇性質によって特徴づけられ、群伏完備化で同値を誘導する任意のファイブレーションが自身でも同値であることが示される。
• 6-(Cat∞)Th の構成は、古典的トーマソンモデル構造を Cat から Cat∞ に持ち上げる際の主要な障害を解消する。これは、古典的モデル構造では群伏圏が双ファイブレーション的でないのに対し、(Cat∞)Th では∞-群伏圏がファイブレーション的対象として含まれるためである。