[論文レビュー] Nonperturbative Effects and the Large-Order Behavior of Matrix Models and Topological Strings

Marcos Mariño, Ricardo Schiappa+1 more|ArXiv.org|Nov 13, 2007

Theoretical and Computational Physics参考文献 56被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、スペクトル曲線のデータを用いて、一般の1カット行列モデルにおける正確な1ループおよび2ループインスタントン振幅を導出し、非摂動的効果と1/N展開の高次の振る舞いとの直接的な関係を確立する。これらの結果は、トーリックCalabi–Yau多様体上のトポロジカル弦理論およびハーツィィ理論に応用され、Gromov–Witten不変量および単純ハーツィィ数の高 genus 清水中の漸近的振る舞いについての正確な予測をもたらし、四次行列モデルや局所的曲線背景を含む複数のモデルにおいて、広範な数値的検証を通じて解析的結果の妥当性が確認された。

ABSTRACT

This work addresses nonperturbative effects in both matrix models and topological strings, and their relation with the large-order behavior of the 1/N expansion. We study instanton configurations in generic one-cut matrix models, obtaining explicit results for the one-instanton amplitude at both one and two loops. The holographic description of topological strings in terms of matrix models implies that our nonperturbative results also apply to topological strings on toric Calabi-Yau manifolds. This yields very precise predictions for the large-order behavior of the perturbative genus expansion, both in conventional matrix models and in topological string theory. We test these predictions in detail in various examples, including the quartic matrix model, topological strings on the local curve, and Hurwitz theory. In all these cases we provide extensive numerical checks which heavily support our nonperturbative analytical results. Moreover, since all these models have a critical point describing two-dimensional gravity, we also obtain in this way the large-order asymptotics of the relevant solution to the Painleve I equation, including corrections in inverse genus. From a mathematical point of view, our results predict the large-genus asymptotics of simple Hurwitz numbers and of local Gromov-Witten invariants.

研究の動機と目的

• スペクトル曲線の幾何的データを用いて、一般の1カット行列モデルにおける1および2ループインスタントン振幅を明示的に導出すること。
• 行列モデルにおける非摂動的インスタントン効果と1/N展開の高次の振るまいとの間の関係を確立すること。
• ホログラフィック行列モデル双対性を介して、これらの結果をトーリックCalabi–Yau多様体上のトポロジカル弦理論に拡張すること。
• 導出されたインスタントン振幅を用いて、トーリックCalabi–Yau多様体上のトポロジカル弦理論の高 genus 漸近的振るまいを予測すること。
• 四次行列モデルおよびハーツィィ理論を含む複数のモデルにおいて、解析的予測の広範な数値的検証を提供すること。

提案手法

• 著者らは、固有値トンネル配置と集団場理論を用いて、一般の1カット行列モデルにおける1インスタントン振幅の1および2ループ補正を計算する。
• インスタントン振幅は、行列モデルのスペクトル曲線に特徴的な幾何的データとして表現され、二重スケーリング極限にとどまらず一般化可能である。
• トーリックCalabi–Yau多様体上のトポロジカル弦理論と行列モデルの間のホログラフィック双対性を用いて、行列モデルのインスタントン結果をトポロジカル弦振幅の予測に翻訳する。
• インスタントン振幅から1/N展開の高次の振るまいが導かれ、摂動理論における階乗的発散と指数的非摂動補正との関係が明確にされる。
• この手法は、四次行列モデル、局所的曲線上のトポロジカル弦理論、およびハーツィィ理論といった具体的なモデルに適用され、高 genus における自由エネルギーの明示的な多項式表現が得られる。
• 数値的検証として、解析的予測と正確な genus 展開（最高で genus 10 まで）を比較し、すべてのテストされたモデルで一貫性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の1カット行列モデルにおける1および2ループインスタントン振幅は、スペクトル曲線のデータにどのように依存するか？
• RQ2 行列モデルにおける非摂動的インスタントン効果と1/N展開の高次の振るまいとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 行列モデルにおけるインスタントン振幅は、どのようにしてトーリックCalabi–Yau多様体上のトポロジカル弦理論の高 genus 漸近的振るまいを予測するか？
• RQ4 インスタントン計算によって予測される単純ハーツィィ数および局所的Gromov–Witten不変量の高 genus 漸近的振るまいは何か？
• RQ5 1/N展開の高次の振るまいに関する解析的予測が、四次行列モデルやハーツィィ理論を含む複数のモデルにおいて、どの程度数値的検証に耐えうるか？

主な発見

• スペクトル曲線に基づく明示的な1および2ループインスタントン振幅が、二重スケーリング極限にとどまらず、一般の1カット行列モデルに対して導出された。
• 行列モデルにおける1/N展開の高次の振るまいが、指数的非摂動補正を生じるのと同じインスタントン配置によって支配されていることが示された。
• 結果は、局所的Calabi–Yau幾何におけるGromov–Witten不変量の高 genus 漸近的振るまいを、高精度で予測し、genus 10 まで数値的に確認された。
• ハーツィィ理論においては、genus 6 までの一貫した多項式表現が得られ、文献に独立して得られた計算結果と一致した。
• genus-g 自由エネルギーの多項式構造が α² に関して次数 3g−4 であることが判明し、既知の制約と整合的であり、数値的にも確認された。
• 臨界点（α²=2）において、インスタントン振幅は既知のPainlevé I 二重スケーリング自由エネルギーの係数を再現し、2次元重力理論における既存の結果と整合的であることが確認された。