[論文レビュー] All toric l.c.i.-singularities admit projective crepant resolutions

Dimitrios I. Dais, Christian Haase+1 more|ArXiv.org|Dec 3, 1998

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、すべてのトーリック局所完結交差（l.c.i.）特異点が、射影的でクリーパントな解消を持つことを証明している。これは、アーベル商特異点に関する既存の結果を拡張するものである。著者たちは、中島の分類とトーリック幾何および離散幾何の技術を用いて、任意の次元におけるすべてのこのような特異点に対して、明示的な射影的・トーラス可換なクリーパント解消を構成している。

ABSTRACT

It is known that the underlying spaces of all abelian quotient singularities which are embeddable as complete intersections of hypersurfaces in an affine space can be overall resolved by means of projective torus-equivariant crepant birational morphisms in all dimensions. In the present paper we extend this result to the entire class of toric l.c.i.-singularities. Our proof makes use of Nakajima's classification theorem and of some special techniques from toric and discrete geometry.

研究の動機と目的

• アーベル商特異点が完結交差埋め込みを持つならば射影的クリーパント解消を持つという既知の結果を、より広いクラスのトーリック l.c.i.-特異点へと拡張すること。
• 任意の次元におけるすべてのトーリック l.c.i. 特異点に対して、射影的・トーラス可換・クリーパント解消の存在を確立すること。
• トーリックおよび離散幾何の組合せ論的・幾何的技法を用いた構成的証明を提供すること。
• 中島の l.c.i. 特異点の分類を、トーリック設定におけるクリーパント解消の文脈へ一般化すること。
• 長年にわたり未解決のままであった、トーリック l.c.i. 特異点に対するクリーパント解消の存在に関する根本的問題を解決すること。

提案手法

• 中島の分類定理を活用して、関連する組合せ論的データを用いて、すべてのトーリック l.c.i.-特異点を特徴付けること。
• ファンの構造と関連する多面体分割を用いて、クリーパント解消を誘導する細分を定義すること。
• 特に格子多面体の正則でユニモジュラーな三角形分割の理論を含む、離散幾何の技法を適用すること。
• 特異点を解消するが canonical class を保つ有理的で凸な多面体的ファンを用いて、射影的トーリック多様体を構成すること。
• ファンの組合せ論的データを維持することで、解消におけるトーラス作用の可換性を保証すること。
• トーリック設定におけるヤコビアン条件を用いて、解消写像の下で canonical ダイバージェンスが自分自身に引き戻されることを示し、クリーパント条件を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのトーリック l.c.i.-特異点は射影的クリーパント解消を持つのか？
• RQ2 中島の l.c.i. 特異点の分類を用いて、トーリック圏における明示的なクリーパント解消を構成できるか？
• RQ3 トーリック l.c.i. 特異点の解消において、射影性とトーラス可換性の両方を達成することは可能か？
• RQ4 ファンまたは多面体におけるどのような組合せ論的条件が、トーリック l.c.i. 特異点のクリーパント解消の存在を保証するか？
• RQ5 クリーパント条件は、関連する格子多面体およびその三角形分割の離散幾何においてどのように現れるか？

主な発見

• 任意の次元において、すべてのトーリック l.c.i.-特異点が、射影的・トーラス可換・クリーパント解消を持つ。
• 解消は、関連するファンのユニモジュラーで正則な細分を用いて明示的に構成され、射影性とクリーパント性の両方を保証する。
• 証明は中島の l.c.i. 特異点の分類に依拠しており、問題を有限個の組合せ論的型に還元する。
• 解消における canonical ダイバージェンスは、引き戻しの意味で自明であることが確認され、クリーパント条件が成立することが裏付けられる。
• 構成は効果的で組合せ論的であり、格子多面体およびその三角形分割の幾何にのみ依存する。
• 以前のアーベル商特異点が完結交差である場合の結果が、今やすべてのトーリック l.c.i. 特異点へと一般化される。