[論文レビュー] Almost periodicity and periodicity for nonautonomous random dynamical systems

Paul Raynaud de Fitte|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポーランド空間値の確率過程における $θ$-準周期性の新概念を導入し、確率的準周期性と $p$-平均準周期性を統合することで、確率的偏微分方程式（SPDEs）に対してより強力な結果を得ることを可能にする。弱い条件下で、ヒルバート空間における非自己同型SPDEのクラスに対して、一意な有界な弱解が $θ$-準周期的であり、かつパス分布における準周期的（APPD）であることを証明している。係数が周期的である場合、周期的解が特殊ケースとして現れる。

ABSTRACT

We present a notion of almost periodicity wich can be applied to random dynamical systems as well as almost periodic stochastic differential equations in Hilbert spaces (abstract stochastic partial differential equations). This concept allows for improvements of known results of almost periodicity in distribution, for general random processes and for solutions to stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• SPDEの二乗平均準周期的解に関する先行研究における矛盾を是正すること。これは、イト積分における変数変換が不正であることに起因していた。
• 既存の概念（分布における準周期性や $p$-平均における準周期性など）を包含する、確率力学系における準周期性の強固で一般的な枠組みを構築すること。
• 度解析的力学系と非自己同型SPDEの解の準周期的挙動との間の関係を確立すること。
• 適切な条件下で、半線形SPDEの一意な有界弱解が $θ$-準周期的かつパス分布における準周期的（APPD）であることを証明すること。
• SPDEの係数が周期的である場合、解が $θ$-$\tau$-周期的となり、有限次元分布における周期性が生じることを示すこと。

提案手法

• 基礎となる確率空間上のシフト $\theta$ を用いて、ポーランド空間 $\mathbb{X}$ 値の確率過程における $θ$-準周期性を定義する。
• 測度を保存する変換群 $\theta_t$ を用いた度解析的力学系の枠組みを用い、$θ$ の意味での準周期性を定義する。
• 非完璧で非自己同型の力学系を許容する、度解析的力学系上に定義された粗いコサイクルとして非自己同型確率力学系を適用する。
• $θ$-準周期性とパス分布における準周期性（APPD）との関係を確立し、一般には $θ$-準周期性がAPPDを意味しないが、連続性および一様可積分性の下では意味することを示す。
• 確率的畳み込みを用いて定義される作用素 $\Gamma$ を用いて、有界可測過程の空間 $\mathrm{CUB}(\Omega;\mathbb{H})$ における縮小写像の議論を展開する。
• スペクトルギャップ $\mathfrak{d}$ とリプシッツ定数 $\mathfrak{h}, \mathfrak{g}$ を含む十分条件（5.22）を導出し、$\Gamma$ の収縮性を保証することで、解の存在と一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布における準周期性や $p$-平均における準周期性といった既存の概念を統合できる、確率過程における一貫的かつ一般的な準周期性の定義が可能か？
• RQ2 $θ$-準周期性はパス分布における準周期性（APPD）を意味するか？もしそうでなければ、どのような追加条件がこれを保証するか？
• RQ3 不正な変数変換に起因する、SPDEの二乗平均準周期的解に関する誤った主張を、厳密な度解析的力学系の手法によって是正できるか？
• RQ4 非自己同型SPDEのヒルバート空間における一意な有界弱解が、$θ$-準周期性およびAPPDをどのようにして継承するかの条件は何か？
• RQ5 SPDEにおける係数 $F$ と $G$ が周期的である場合、解が $θ$-$\tau$-周期的であり、有限次元分布において周期的になるか？

主な発見

• 本稿は、SPDEの二乗平均準周期的解に関する先行研究における根本的な誤りを特定・是正した。これは、イト積分における不正な変数変換に起因していた。
• 条件 $2\mathfrak{h}^2(1 + \frac{1}{2\mathfrak{d}}) < 1$ の下で、解作用素 $\Gamma$ が $\mathrm{CUB}(\Omega;\mathbb{H})$ 上で収縮写像であることが証明され、有界な弱解の存在と一意性が保証される。
• 同じ収縮条件の下で、一意な有界弱解 $X$ が $θ$-準周期的であり、かつパス分布における準周期的（APPD）であることが示された。
• すべての $x \in \mathbb{H}$ に対して、係数 $F(\cdot,x)$ と $G(\cdot,x)$ が $\tau$-周期的である場合、解 $X$ は $θ$-$\tau$-周期的となり、有限次元分布における周期性が保証される。
• 係数 $F$ と $G$ が時間に依存しない場合、解は $θ$-定常的であることが示され、定常性が $θ$-準周期性の特殊ケースであることが明らかになった。
• 一般には $θ$-準周期性がAPPDを意味しないことの反例を提示したが、連続性および一様可積分性の下で十分条件を提示した。