[論文レビュー] Almost sure global well-posedness for the energy supercritical NLS on the unit ball of $\mathbb{R}^3$

Mouhamadou Sy, Xueying Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$ ^3$ における単位球上でエネルギー超臨界な非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、確率的手法を用いて概確率的全域適定性を確立する。決定論的設定では無条件の全域正則性が成立しないにもかかわらず、代わりに代数的非線形項および部分臨界的・超臨界的非線形項の両方に対して、概確率的全域存在性と一意性を証明した。また、ギブズ測度の不変性と、時間に多項式的に増加するソボレフノルムの境界を示した。

ABSTRACT

In this paper, we present two almost sure global well-posedness (GWP) results for the energy supercritical nonlinear Schrödinger equations (NLS) on the unit ball of $\Bbb R^3$ using two different approaches. First, for the NLS with algebraic nonlinearities with the subcritical initial data, we show the almost sure global well-posedness and the invariance of the underlying measures, and establish controls on the growth of Sobolev norms of the solutions. This global result is based on a deterministic local theory and a probabilistic globalization. Second, for the NLS with generic power nonlinearities with critical and supercritical initial conditions, we prove the almost sure global well-posedness, and the invariance of the measure under the solution flows. This global result is built on a compactness argument and the Skorokhod representation theorem.

研究の動機と目的

• 決定論的全域正則性が未知である状況下で、$ ^3$ における単位球上でのエネルギー超臨界NLSに対して、概確率的全域適定性を確立すること。
• エネルギー超臨界領域におけるNLSフロー下で、ギブズ型測度の不変性を証明すること。
• 超臨界設定において保存則が存在しないにもかかわらず、概確率的条件下でソボレフノルムの成長を制御すること。
• 代数的および一般のべき非線形項を有する部分臨界的および臨界的／超臨界的初期データに対し、確率的全域適定性の結果を拡張すること。
• 決定論的局所理論と確率的グローバライゼーションを組み合わせた、超臨界NLSのためのフレームワークを構築すること。

提案手法

• 部分臨界的正則性の場合は、決定論的局所適定理論と、大偏差推定に基づく確率的グローバライゼーションの組み合わせを用いた。
• 臨界的および超臨界的初期データの場合は、スコロホド表現定理を用いたコンパクトネスの議論により、ガラーキン近似の概確率的収束部分列を抽出した。
• 不変測度の構成には、有限次元ギブズ測度がガラーキン近似下で不変であることと、弱収束による極限測度への収束を用いた。
• フラクチュエーション・ディスシペーショングリッド原理を用いて、単位球上でのNLSハミルトニアンに関連するギブズ測度を定義・解析した。
• リリッヒト＝コンドラチョフの定理とカト・ポンチェの不等式を用いて、ソボレフ空間枠組みにおける埋め込みおよび交換子推定を制御した。
• 測度不変性の証明には、有限次元近似の不変性と、プロホロフの定理による測度列の緊密性を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的全域正則性が失敗する状況下で、$ ^3$ における単位球上でのエネルギー超臨界NLSに対して、概確率的全域適定性を確立できるか？
• RQ2 NLSハミルトニアンに関連するギブズ測度は、エネルギー超臨界NLSのフロー下でも不変のままであるか？
• RQ3 超臨界領域において、時間に多項式的に増加するソボレフノルムの境界を、概ねすべての初期データに対して確立できるか？
• RQ4 超臨界設定における保存則の欠如を、確率的手法によってどのように克服できるか？
• RQ5 決定論的全域制御が得られない状況下で、スコロホド表現定理とコンパクトネスの議論をどれほど活用してグローバル解を構成できるか？

主な発見

• 代数的非線形項および部分臨界的初期データを有するエネルギー超臨界NLSに対して、$ ^3$ における単位球上での概確率的全域適定性が確立された。
• NLSに関連するギブズ測度は、エネルギー超臨界領域においても解フロー下で不変であることが示された。
• 部分臨界的状況下では、初期データに一様に依存しない時間に多項式的に増加するソボレフノルムの概確率的境界が得られた。
• 臨界的および超臨界的初期データの場合は、コンパクトネスの議論とスコロホド表現定理を用いて、概確率的全域存在性が証明された。
• ガラーキン近似から得られる極限測度が不変であり、概確率的に有限ソボレフノルムを持つ関数に台を持つことが示された。
• 本論文は、特に超臨界設定において決定論的保存則の欠如を補うための確率的フレームワークを構築した。