[論文レビュー] An Adaptive Nested Source Term Iteration for Radiative Transfer Equations

Wolfgang Dahmen, Felix Gruber+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Numerical methods in inverse problemsMathematics参考文献 19被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、L2ノルムにおける公式的な事後誤差境界を備えた放射移動方程式を解くための適応的ネスト型ソース項反復法（ASTI）を提案する。安定化ペトロフ・ガレルキン変分式、厳密な誤差制御を可能にする不連続ペトロフ・ガレルキン（DPG）スケーム、および誤差境界に基づく適応的メッシュ生成を組み合わせることで、保証された精度を達成しながら、低ランク散乱演算子近似と行列圧縮によって計算コストを低減する。

ABSTRACT

We propose a new approach to the numerical solution of radiative transfer equations with certified a posteriori error bounds. A key role is played by stable Petrov--Galerkin type variational formulations of parametric transport equations and corresponding radiative transfer equations. This allows us to formulate an iteration in a suitable, infinite dimensional function space that is guaranteed to converge with a fixed error reduction per step. The numerical scheme is then based on approximately realizing this iteration within dynamically updated accuracy tolerances that still ensure convergence to the exact solution. To advance this iteration two operations need to be performed within suitably tightened accuracy tolerances. First, the global scattering operator needs to be approximately applied to the current iterate within a tolerance comparable to the current accuracy level. Second, parameter dependent linear transport equations need to be solved, again at the required accuracy of the iteration. To ensure that the stage dependent error tolerances are met, one has to employ rigorous a posteriori error bounds which, in our case, rest on a Discontinuous Petrov--Galerkin (DPG) scheme. These a posteriori bounds are not only crucial for guaranteeing the convergence of the perturbed iteration but are also used to generate adapted parameter dependent spatial meshes. This turns out to significantly reduce overall computational complexity. Since the global operator is only applied, we avoid the need to solve linear systems with densely populated matrices. Moreover, the approximate application of the global scatterer accelerated through low-rank approximation and matrix compression techniques. The theoretical findings are illustrated and complemented by numerical experiments with non-trivial scattering kernels.

研究の動機と目的

• パrametricな輸送および放射移動方程式に対して、数値的に安定で、適応的なアルゴリズムを構築し、厳密に公式的な誤差制御を実現すること。
• 輸送支配領域におけるキネティックモデルの誤差制御が可能なソルバーの不足に取り組むこと。
• 適応的空間メッシュと散乱演算子の低ランク近似を通じて、計算複雑性を低減すること。
• 動的に調整された精度許容誤差に基づく反復スキームの収束を保証すること。
• 事後誤差境界を用いた不確実性評価のフレームワークを放射移動問題に提供すること。

提案手法

• パrametricな輸送および放射移動方程式に対して、安定したペトロフ・ガレルキン変分式を採用する。
• 関数空間内に無限次元の反復スキームを設計し、各ステップで保証された固定誤差低減を達成する。
• 事後DPG誤差境界から導出される動的に更新される精度許容誤差に基づき、反復を近似する。
• 事後DPG境界を用いて、パラメータ依存の適応的空間メッシュの細分化を誘導する。
• 低ランクおよび行列圧縮技術を適用して、グローバル散乱演算子の適用を高速化する。
• 適応的DPG離散化を用いて、必要な精度レベルでパラメータ依存線形輸送方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元関数空間内に、収束性と誤差低減が保証されたネスト型ソース項反復を定式化できるか？
• RQ2 DPGスケームからの事後誤差境界を、適応的で反復的なソルバーの精度制御にどのように活用できるか？
• RQ3 誤差境界に基づく適応的メッシュ生成が、放射移動における計算効率に与える影響は何か？
• RQ4 誤差制御を維持したまま、グローバル散乱演算子をどのように効率的に適用できるか？
• RQ5 従来手法と比較して自由度を削減しつつ、認証された精度を達成できるか？

主な発見

• ASTIアルゴリズムは、反復10回目で最終誤差0.00400132、自由度42,179,602を達成し、目標精度へ収束した。
• 事後DPG境界による認証誤差制御が実現され、グローバル誤差境界が常に実際の誤差を上回っていることが保証された。
• 事後誤差推定に基づく適応的空間メッシュが、均一メッシュ細分化と比較して、全体の計算コストを顕著に低減した。
• 低ランク近似を用いた散乱演算子の適用が、高速な行列圧縮と短縮された解法時間を可能にした。
• 収束履歴から、内部誤差許容誤差がグローバル誤差境界よりも厳しく設定されていることが示され、効果的な誤差管理が行われていた。
• 角度方向にわたる最終解の可視化において、物理的に不自然な振動が認められず、構造保存変更なしに方法の強靭性が確認された。