[論文レビュー] An algebra of open continuous time dynamical systems and networks

Eugene Lerman, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、開連続時間力学系とその相互接続をモデル化するため、全射部分埋め込みのモノイダル二重圏を導入し、部分系の代数的合成と系間の準同型を統一的に扱う。これは、既存の多様体のネットワークに関する研究を一般化し、ネットワークのファイブレーションを特別な場合として回復する。

ABSTRACT

Many systems of interest in science and engineering are made up of interacting subsystems. These subsystems, in turn, could be made up of collections of smaller interacting subsystems and so on. In a series of papers David Spivak with collaborators formalized these kinds of structures (systems of systems) as algebras over presentable colored operads. It is also very useful to consider maps between dynamical systems. This amounts to viewing dynamical systems as objects in an appropriate category. This is the point taken by DeVille and Lerman in the study of dynamics on networks. The goal of this paper is to describe an algebraic structure that encompasses both approaches to systems of systems. To this end we replace the monoidal category of wiring diagrams by a monoidal double category whose objects are surjective submersions. This allows us, on one hand, build new large open systems out of collections of smaller open subsystems and on the other keep track of maps between open systems. As a special case we recover the results of DeVille and Lerman on fibrations of networks of manifolds.

研究の動機と目的

• 開連続時間力学系の代数的合成と、それらの間の写像の研究を統一すること。
• ワイヤリング図とオペラッドに基づく既存の枠組みを、系間の写像を含めるように拡張すること。
• モジュラー構築と構造的関係を両立できる、システムのシステムのための圏論的基盤を提供すること。
• デヴィルとレルマンによる多様体のネットワークのファイブレーションに関する研究を、統一的な代数的構造内で一般化すること。
• 連続時間力学系と整合する形で、部分系とその写像の相互作用を形式化すること。

提案手法

• ワイヤリング図のモノイダル圏を、対象が全射部分埋め込みであるモノイダル二重圏に置き換える。
• 二重圏の構造を用いて、開系の合成とそれらの間の写像の両方をモデル化する。
• 水平な射を系（全射部分埋め込み）とし、垂直な射をそれらの系間の写像とする。
• 階層的・モジュラーな系の合成を形式化するために、提示可能カラーレスオペラッドを用いて代数的構造を構築する。
• 多様体と滑らかな写像をフレームワーク内に埋め込むことで、連続時間力学系と整合性を保つ。
• 適切な部分圏に制限することで、多様体のネットワークのファイブレーションを特別な場合として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、構造的関係を保ちながら、開連続時間力学系を代数的に合成できるか？
• RQ2 どの圏論的枠組みが、モジュラーな系の組み立てと、それらの間の写像の両方をサポートするか？
• RQ3 提案された構造は、既存の多様体のネットワークとそのファイブレーションのモデルをどの程度一般化するか？
• RQ4 全射部分埋め込みを対象として用いることで、開系のモデル化にどのような利点が得られるか？
• RQ5 オペラッド的合成と系間の写像を、整合的な圏論的枠組みで統一できるか？

主な発見

• 提案された全射部分埋め込みのモノイダル二重圏は、開系の合成とそれらの間の写像の追跡の両方を統合したフレームワークを提供する。
• 垂直矢印としての写像を組み込むことで、オペラッド的手法によるシステムのシステムの一般化が可能になる。
• デヴィルとレルマンによる多様体のネットワークのファイブレーションの結果が、特別な場合としてこのフレームワークで回復される。
• 全射部分埋め込みを対象として用いることで、境界条件と接続を自然に表現できる。
• 二重圏の構造により、単一の代数的形式主義内で、系の合成と系の写像を一貫して取り扱える。
• 階層的・モジュラーな複雑な力学系の構築を支援するとともに、系間の関係を分析する能力を維持できる。