[論文レビュー] An algebraic inverse theorem for the quadratic Littlewood-Offord problem, and an application to Ramsey graphs

Matthew Kwan, Lisa Sauermann|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次 Littlewood-Offord 問題に対する代数的逆定理を確立し、独立な Rademacher 変数における2次多項式が $1/n$ より顕著に大きな点確率を持つ場合、それは低ランク2次形式に近いものでなければならないことを示している。この結果はラマージュ図形に応用され、$C$-ラマージュ図形の誘導部分グラフにおける異なる辺数の個数に関する予想を漸近的に解決する。

ABSTRACT

Consider a quadratic polynomial $f\left(ξ_{1},\dots,ξ_{n} ight)$ of independent Bernoulli random variables. What can be said about the concentration of $f$ on any single value? This generalises the classical Littlewood--Offord problem, which asks the same question for linear polynomials. As in the linear case, it is known that the point probabilities of $f$ can be as large as about $1/\sqrt{n}$, but still poorly understood is the "inverse" question of characterising the algebraic and arithmetic features $f$ must have if it has point probabilities comparable to this bound. In this paper we prove some results of an algebraic flavour, showing that if $f$ has point probabilities much larger than $1/n$ then it must be close to a quadratic form with low rank. We also give an application to Ramsey graphs, asymptotically answering a question of Kwan, Sudakov and Tran.

研究の動機と目的

• 独立な Rademacher 変数における2次多項式が、$1/n$ より顕著に大きな点確率集中を示す構造的条件を理解すること。
• 線形から2次の Littlewood-Offord 問題への逆定理を拡張し、多項式の代数的および算術的性質に焦点を当てる。
• 逆定理をラマージュ図形理論に応用し、誘導部分グラフにおける異なる辺数の個数を評価すること。
• $C$-ラマージュ図形の $k$ 頂点誘導部分グラフにおける異なる辺数の個数に関する予想を漸近的に解決すること。

提案手法

• 点確率が $\gg 1/n$ である場合、2次多項式が低ランク2次形式に近いことを示す代数的逆定理を構築する。
• 固有値および代数的技法を用いて、2次形式の係数行列の構造を分析する。
• 2次形式に関連する対称行列のランクと、多項式出力の反集中性との間の関係を確立する。
• ラマージュ図形の誘導部分グラフにおける辺数確率変数に逆定理を応用し、分散推定と反集中性の境界を活用する。
• 差分に基づく構成を用いて、辺数が増加する部分グラフの系列を構築し、辺数の区間ごとの和集合をとる。
• チェビシェフの不等式と局所的反集中性の仮定を用いて、部分グラフにおける異なる辺数の個数が $\Omega(n^{3/2})$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立な Rademacher 変数における2次多項式が、$1/n$ より顕著に大きな点確率を持つ代数的条件は何か？
• RQ2 このような多項式の逆構造は、低ランク2次形式への近接性によって特徴付けられるか？
• RQ3 この逆定理は、$C$-ラマージュ図形における辺数統計の強い反集中性を示唆するか？
• RQ4 $C$-ラマージュ図形の $k$ 頂点誘導部分グラフにおける異なる辺数の個数は、$\Omega(n^{3/2})$ で下から抑えられるか？
• RQ5 Erdős と McKay の予想を支持する、ラマージュ図形における辺数分布に対する局所的中心極限定理は存在するか？

主な発見

• $n$ 個の独立な Rademacher 変数における2次多項式が $\gg 1/n$ の点確率を持つ場合、それは低ランクの2次形式に近い。
• 逆定理は、高濃度が代数的単純性（低ランク構造）を示す構造的二分法を確立する。
• ラマージュ図形への応用により、$n$ 頂点の任意の $C$-ラマージュ図形は、$k = \Omega(n)$ かつ $n/2 - k = \Omega(n)$ の条件下で、$\Omega(n^{3/2})$ 個の異なる辺数を持つ $k$ 頂点誘導部分グラフを持つことが示された。
• この結果は、Kwan, Sudakov, および Tran が提起した、ラマージュ図形の誘導部分グラフにおける異なる辺数の個数に関する予想を漸近的に解決する。
• 証明は、差分的議論と頂点の入れ替えを用いて構築された、辺数が $\Omega(n^{3/2})$ 関係で異なる部分グラフの系列に依存する。
• 解析により、局所的反集中性の仮定の下で、このような部分グラフにおける辺数分布の台は $\Omega(n^{3/2})$ 個以上であることが示された。