[論文レビュー] An algebraic theory for logarithmic Kazhdan-Lusztig correspondences

Thomas Creutzig, Simon Lentner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2023

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、頂点代数と量子群の表現カテゴリの間のbraided tensor同値（対応）を確立する代数的枠組みを構築する。その中心的アイデアは、複素braided tensorカテゴリ 𝒰 を、ある可換代数 A を用いて単純なカテゴリの相対Drinfeld中心として特徴付けることである。主な結果は、A およびそのモジュールカテゴリが十分に理解されている場合、braided tensor同値をアーベル同値に系統的に還元できることであり、これにより、例えば、singlet頂点代数 ℳ(p) と 2p乗根の単位根における unrolled small quantum group of 𝔰𝔩₂ 間、および affine gl₁|₁ 頂点代数とその量子群版との間の新しい同値が証明可能となる。

ABSTRACT

Let $\mathcal{U}$ be a braided tensor category, typically unknown, complicated and in particular non-semisimple. We characterize $\mathcal{U}$ under the assumption that there exists a commutative algebra $A$ in $\mathcal{U}$ with certain properties: Let $\mathcal{C}$ be the category of local $A$-modules in $\mathcal{U}$ and $\mathcal{B}$ the category of $A$-modules in $\mathcal{U}$, which are in our set-up usually much simpler categories than $\mathcal{U}$. Then we can characterize $\mathcal{U}$ as a relative Drinfeld center $\mathcal{Z}_\mathcal{C}(\mathcal{B})$ and $\mathcal{B}$ as representations of a certain Hopf algebra inside $\mathcal{C}$. In particular this allows us to reduce braided tensor equivalences to the knowledge of abelian equivalences, e.g. if we already know that $\mathcal{U}$ is abelian equivalent to the category of modules of some quantum group $U_q$ or some generalization thereof, and if $\mathcal{C}$ is braided equivalent to a category of graded vector spaces, and if $A$ has a certain form, then we already obtain a braided tensor equivalence between $\mathcal{U}$ and $\mathrm{Rep}(U_q)$. A main application of our theory is to prove logarithmic Kazhdan-Lusztig correspondences, that is, equivalences of braided tensor categories of representations of vertex algebras and of quantum groups. Here, the algebra $A$ and the corresponding category $\mathcal{C}$ are a-priori given by a free-field realization of the vertex algebra and by a Nichols algebra. We illustrate this in those examples where the representation theory of the vertex algebra is well enough understood. In particular we prove the conjectured correspondences between the singlet vertex algebra $\mathcal{M}(p)$ and the unrolled small quantum groups of $\mathfrak{sl}_2$ at $2p$-th root of unity. Another new example is the Kazhdan-Lusztig correspondence for $\mathfrak{gl}_{1|1}$.

研究の動機と目的

• 頂点代数と量子群の表現カテゴリの間の対数的Kazhdan-Lusztig対応（braided tensor同値）を証明する一般枠組みを確立すること。
• braided tensor同値の構成問題を、より単純なモジュールカテゴリ間のアーベル同値を確認する問題に還元すること。
• 非半単純なbraided tensorカテゴリ 𝒰 を、𝒰 内の可換代数 A を用いて相対Drinfeld中心 𝒵_𝒞(ℬ) として特徴付けること。
• 理論を応用し、singlet頂点代数 ℳ(p) と 2p乗根の単位根における unrolled small quantum group of 𝔰𝔩₂ 間の新しい同値を証明すること。
• 理論を unrolled quantum groups や affine gl₁|₁ に拡張し、その頂点代数と量子群表現の間の新しい対応を証明すること。

提案手法

• braided tensorカテゴリ 𝒰 を、𝒞（A の局所モジュールのカテゴリ）と ℬ（𝒰 内の A モジュールのカテゴリ）の相対Drinfeld中心 𝒵_𝒞(ℬ) として特徴付ける。
• 𝒰 内の特定の性質を満たす可換代数 A を用いて、𝒰 から ℬ への分裂テンソル関手を誘導する。
• 𝒞 内のホップ代数の表現として ℬ を実現し、テンソル構造の再構成を可能にする。
• A と 𝒞 の出発源として、自由場実現とNichols代数を用いる。
• 完全関手が射空間 Hom に沿って同型を誘導するならば、それが全射的かつ忠実であるという基準を用いる。
• 射影的および単射的分解の存在を活用し、アーベル同値をbraided tensor同値に持ち上げることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、braided tensorカテゴリ 𝒰 が、𝒰 内の可換代数 A を用いてより単純なカテゴリ ℬ の相対Drinfeld中心として再構成可能か？
• RQ2 頂点代数と量子群カテゴリ間のbraided tensor同値を、どのようにアーベル同値に還元できるか？
• RQ3 自由場実現とNichols代数は、必要な可換代数 A および A の局所モジュールのカテゴリ 𝒞 の構成において、どのような役割を果たすか？
• RQ4 理論は、singlet頂点代数 ℳ(p) と 2p乗根の単位根における unrolled small quantum group of 𝔰𝔩₂ 間のKazhdan-Lusztig対応を証明できるか？
• RQ5 理論は、gl₁|₁ の affine 頂点代数に拡張可能であり、その unrolled quantum group との新しい対応を導くか？

主な発見

• 本稿は、singlet頂点代数 ℳ(p) の表現カテゴリと、2p乗根の単位根における unrolled small quantum group of 𝔰𝔩₂ の表現カテゴリの間のbraided tensor同値を証明した。
• affine 頂点代数 gl₁|₁ とその unrolled quantum group 間に、新しいKazhdan-Lusztig対応が確立された。
• カテゴリ 𝒞 が順序付きベクトル空間とbraided equivalent である限り、braided tensor同値の構成を、量子群のモジュールカテゴリと ℬ 間のアーベル同値を確認する問題に還元可能であることが示された。
• 相対Drinfeld中心構成 𝒰 ≅ 𝒵_𝒞(ℬ) が、単純なカテゴリ ℬ と代数 A から、𝒰 の完全なbraided tensor構造を回復できることを示した。
• 射影的および単射的分解の存在により、射空間を射影的／単射的対象間で保存する完全関手は全射的かつ忠実であることが保証され、これによりアーベル同値をbraided tensor同値に持ち上げることが可能となった。
• この枠組みは、対数的VOA と量子群の両方へ適用可能であり、非半単純な設定においてこのような対応を証明する一般的手法を提供した。