[論文レビュー] An Analysis of the Quasi-Nonlocal Quasicontinuum Approximation of the Embedded Atom Model

Xingjie Helen Li, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2010

Microstructure and mechanical properties参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、次近接相互作用を含む1次元の埋め込み原子モデル（EAM）に対して、準非局所準連続体（QNL）法を分析する。原子格子とEAM-QNLモデル間の漸近的等価な格子安定性を保証するための、対ポテンシャル、電子密度関数、埋め込み関数に関する条件を確立し、負ノルム誤差推定を用いて連続領域における歪み誤差の最適なO(ε³/²)収束率を導出する。

ABSTRACT

The quasi-nonlocal quasicontinuum method (QNL) is a consistent hybrid coupling method for atomistic and continuum models. Embedded atom models are empirical many-body potentials that are widely used for FCC metals such as copper and aluminum. In this paper, we consider the QNL method for EAM potentials, and we give a stability and error analysis for a chain with next-nearest neighbor interactions. We identify conditions for the pair potential, electron density function, and embedding function so that the lattice stability of the atomistic and the EAM-QNL models are asymptotically equal.

研究の動機と目的

• 均一な歪みにおけるゴースト力が発生しない埋め込み原子モデル（EAM）の整合的準連続体法の開発。
• 次近接相互作用を含む1次元鎖に対するEAM-QNL近似の安定性と収束性の分析。
• 原子格子とQNLモデル間の格子安定性が漸近的に等価となるようになるための、EAMポテンシャルの各成分（対ポテンシャル、電子密度、埋め込み関数）に関する条件の同定。
• 負ノルム推定を用いて連続領域における歪み誤差の最適収束率を導出する。

提案手法

• 埋め込み原子モデル（EAM）の1次元準非局所準連続体（QNL）エネルギーを定式化し、QNLフレームワークを多体ポテンシャルへ拡張する。
• 線形化モデルを用いて安定性と収束性を分析し、Cauchy–Born則に基づく原子格子領域と連続体領域の整合的結合によりエネルギーを定義する。
• 負ノルム推定技術を適用して、原子格子モデルとQNLモデル間の整合性誤差を評価し、最適な誤差推定を可能にする。
• 離散フーリエ解析とエネルギーに基づくノルムを用いて安定性推定を導出し、格子不安定性付近でもモデルが適切に定式化されることを保証する。
• ℓ²₆ノルムにおける歪み誤差推定を導入し、収束率が連続領域における歪みの滑らかさに依存することを示す。
• ヘッセ行列のスペクトル解析を用いて、EAM-QNLモデルが完全な原子格子モデルと同一の格子安定性を保持するための条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対ポテンシャル、電子密度関数、埋め込み関数がどのような条件下に置かれれば、EAM-QNLモデルの格子安定性が完全な原子格子モデルと漸近的に等しくなるか？
• RQ2 EAMポテンシャルに対するQNL法は、き裂伝播などの格子不安定性付近でも歪み誤差の最適収束率を達成できるか？
• RQ3 原子格子モデルとQNLモデル間の整合性誤差は、格子間隔εに従ってどのようにスケーリングされ、負ノルム技術を用いて有界化できるか？
• RQ4 同定された安定性条件を満たさない場合、QNL近似の精度と安定性にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 対ポテンシャル、電子密度関数、埋め込み関数が特定の滑らかさおよび曲率条件を満たす場合、EAM-QNLモデルの格子安定性は完全な原子格子モデルと漸近的に等しくなる。
• 原子格子モデルとEAM-QNLモデル間の歪み誤差は、ℓ²₆ノルムにおいて最適な収束率O(ε³/²)で収束し、これは連続領域における歪みの滑らかさにのみ依存する。
• 整合性誤差は負ノルム推定を用いて有界化され、欠陥形成などの格子不安定性付近でも有効な誤差推定が得られる。
• 安定性条件を満たさない場合、EAM-QNLモデルは局所的準連続体（EAM-QCL）モデルよりも不安定になる可能性があり、導出された条件の必要性を示している。
• 安定性条件ÂF + ȚF > 0の下で、線形化EAM-QNLモデルは一意解を持つことが示され、線形化系の適切な定式化が保証される。
• 従来の対ポテンシャルに関する結果をEAMケースに一般化し、QNL法が誤差と安定性を制御可能な多体ポテンシャルへ拡張可能であることを示している。