[論文レビュー] An answer to the Wallstrom objection against Nelsonian stochastics

I. Schmelzer|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、量子論的量子化条件が密度零点回りの速度循環に対して成立しないというWallstromの反論を、正則性公理を導入することで解決する。その公理とは、ρ = 0 である点において、確率密度のラプラシアン Δρ が有限かつ正である必要があるというものである。この条件は、亜量子理論における最小歪みの原理から導かれるもので、密度零点回りの閉ループにおける量子力学的量子化条件を強制し、波動関数を基本的実体として仮定することなく、標準量子力学と実験的同等性を回復する。

ABSTRACT

A serious objection made by Wallstrom against quantum interpretations based flow variables, in particular Nelsonian stochastics, is their empirical inequivalence with quantum theory: They are unable to obtain a quantization condition for flows around zeros which is automatically fulfilled by the wave function. It is found that the quantization condition follows from a simple additional postulate: The Laplace operator of the density has to be finite and positive at zeros of the density. This postulate is a quite natural consequence of subquantum theories, as far as they conform to a simple principle of minimal distortion of the quantum solutions.

研究の動機と目的

• 流れ変数（例：Nelson的確率的力学）の形式が標準量子力学と実験的に同等でないというWallstromの反論を解決すること。これは、密度零点回りの速度循環に対する量子化条件が成立しないことによる。
• 流れ変数 ρ と vⁱ を用いた亜量子理論から、量子化条件 ∮vⁱ dqⁱ = 2πmħ, m ∈ ℤ が、密度のラプラシアンに関する正則性公理のみを用いて導かれるということを示すこと。
• ρ = 0 における Δρ > 0 を、亜量子理論における最小歪みの原理からの自然な結果として正当化し、恣意的な仮定を避けること。
• この公理が、亜量子モデルにおけるエネルギー保存則と回転構造と整合しており、物理的に妥当であることを示すこと。

提案手法

• 公理1の導入：ρ(q) = 0 である点において、ラプラシアン Δρ(q) は有限かつ正でなければならない。0 および ∞ は不規則値として除外される。
• 亜量子理論に最小歪みの原理を適用し、特異性を除去するために必要なだけの歪みを許容する。これにより、零点における有限かつ正の Δρ が好まれる。
• 亜量子極限におけるエネルギー保存則を用い、ρ > 0 における非ゼロの渦度（∇×v）に対して正のペナルティ項がある場合、エネルギー保存を維持するには Δρ > 0 である必要があることを示し、公理を支持する。
• Δρ が ρ = 0 で正則であることから、関係式 vⁱ = δⁱʲ∂ⱼS を介して、∮∂ⱼS dqʲ = 2πmħ の量子化条件が導かれるということを示すこと。
• 公理に背くと、r = 0 において Δδρ = 0 を満たすために、δρ に対して不自然な微調整が必要になるが、これは最小歪みの原理に反する。
• 公理が亜量子理論の量子極限と整合しており、最小歪み則を越えて追加の仮定を必要としないことの根拠を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動関数を仮定せず、流れ変数 ρ と vⁱ に基づく亜量子理論から、量子化条件 ∮vⁱ dqⁱ = 2πmħ を導くことは可能か？
• RQ2 ρ = 0 における Δρ > 0 という条件は、亜量子理論の自然な結果であるのか、それとも恣意的な仮定に依存するのか？
• RQ3 最小歪みの原理は、密度零点における Δρ の正則性公理をどのように正当化するか？
• RQ4 亜量子理論のエネルギー保存則における渦度項 ∇×v の役割は何か？ そして、Δρ を制約するか？
• RQ5 エネルギー保存則と回転構造との整合性から、ρ = 0 における公理 Δρ > 0 を導くことは可能か？

主な発見

• 密度零点回りの閉路における量子化条件 ∮vⁱ dqⁱ = 2πmħ は、ρ = 0 における Δρ が有限かつ正であるという正則性公理によって強制される。
• ρ = 0 における Δρ > 0 という公理は恣意的ではなく、亜量子理論における最小歪みの原理から自然に導かれるものである。この原理は、不必要に特異性を避ける解を好む。
• 最小歪みの原理により、Δδρ = 0 を満たすには、ρ = 0 における歪み δρ がゼロであってはならず、結果として Δρ > 0 が自然な結果となる。
• 亜量子極限におけるエネルギー保存則は、Δρ > 0 を支持する。これは、ρ > 0 における非ゼロの渦度に対して正のペナルティ項がある場合、エネルギー保存を維持するには Δρ > 0 が必要であるからである。
• ρ = 0 における公理 Δρ > 0 は、流れ変数形式と標準量子力学との間の実験的同等性を回復するのに十分であり、Wallstromの反論を解決する。
• この結果は、Nelson的確率的力学のような流れ変数に基づく解釈が、この正則性条件が課された場合、量子力学と整合的で妥当であることを示している。