[論文レビュー] An auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin method

Long Chen, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元／3次元単体メッシュ上における2階拡散方程式に弱ガラーキン有限要素法を適用する際の補助空間多重グリッドプリコンディショナを提案する。H¹-連続な一次多項式有限要素空間を補助粗格子空間として用いることで、メッシュサイズに依存しない一様有界な条件数が達成され、数値結果により、均等メッシュおよび適応メッシュにおいても安定した性能が確認されている。

ABSTRACT

In this paper, the authors constructed an auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin finite element method for second-order diffusion equations, discretized on simplicial 2D or 3D meshes. The idea of the auxiliary space multigrid preconditioner is to use an auxiliary space as a "coarse" space in the multigrid algorithm, where the discrete problem in the auxiliary space can be easily solved by an existing solver. In this construction, the authors conveniently use the $H^1$ conforming piecewise linear finite element space as an auxiliary space. The main technical difficulty is to build the connection between the weak Galerkin discrete space and the $H^1$ conforming piecewise linear finite element space. The authors successfully constructed such an auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin method, as well as a reduced system of the weak Galerkin method involving only the degrees of freedom on edges/faces. The preconditioned systems are proved to have condition numbers independent of the mesh size. Numerical experiments are conducted to support the theoretical results.

研究の動機と目的

• 2階拡散方程式の弱ガラーキン有限要素離散化から生じる線形システムに対する効率的なプリコンディショナの開発を目的とする。
• 弱ガラーキン法から生じる大規模かつスパースな線形システムを、最適なスケーラビリティを備えて解く挑戦に応えることを目的とする。
• メッシュサイズに依存しない条件数を持つ強固なプリコンディショナの構築を目的とし、反復解法の高速収束を保証する。
• エッジ／面の自由度のみを保持する低次元系の定式化を導入・厳密に解析し、計算効率を向上させることを目的とする。
• 既存の連続有限要素空間上のソルバを活用するべく、弱ガラーキン文脈への補助空間多重グリッドフレームワークの拡張を目的とする。

提案手法

• H¹-連続な一次多項式有限要素空間を補助粗格子空間として用い、粗格子問題の効率的解法を可能にする。
• 弱ガラーキン離散空間と連続H¹空間の間で安定な移行作用素を確立し、細粒度問題と粗粒度問題を結びつける。
• 細粒度で弱ガラーキン離散化を、粗粒度で同じメッシュ上にP1連続有限要素を用いるVサイクル多重グリッドフレームワークを適用する。
• 補助空間プリコンディショナを用いた共役勾配法（PCG）ソルバを用いて、得られた線形システムを解く。
• 内部要素自由度を削除することで低次元系を導出し、エッジ／面の自由度のみを保持することで効率を向上させる。
• プリコンディショニングされたシステムの条件数がメッシュサイズに対して一様有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ガラーキン法に適用可能な補助空間多重グリッドプリコンディショナを構築でき、メッシュサイズに依存しない収束性を保証できるか？
• RQ2 非連続な弱ガラーキン空間と連続H¹有限要素空間との間の接続を、効果的なプリコンディショニングに役立てるにはどのように確立できるか？
• RQ3 エッジ／面の自由度のみを含む低次元系の定式化は、最適な収束性と効率性を維持するか？
• RQ4 不連続係数を有する問題や適応的細分化メッシュ上でも、このプリコンディショナはどれほど強固か？
• RQ5 このプリコンディショナの性能はメッシュサイズに依存せず、さまざまな問題タイプや幾何形状に対しても有効であるか？

主な発見

• プリコンディショニングされたシステムの条件数は、メッシュサイズに対して一様有界であり、PCGソルバのメッシュサイズに依存しない収束性が保証される。
• 元の弱ガラーキンシステムにおいて、例題1～3の全メッシュ細分化においてPCG反復回数が一定（例：13～14ステップ）に保たれ、強固性が確認された。
• 低次元系の定式化により、システムサイズが約2/3に削減され、解法時間も約半減した。
• 例題5では係数が著しく変動する（ε = 10⁻⁴ から 10⁴）状況下でも、低次元系の反復回数は13回で一定を保ち、係数のジャンプに対しても強固であることが示された。
• 適応メッシュ（例題3）における数値実験では、反復回数と性能が類似しており、準均等メッシュを超えた強固性が示された。
• 特に低次元系の新しい取り扱いのおかげで、既存の手法に比べ汎用性と効率性に優れた性能を示した。