[論文レビュー] An embedding problem of Noetherian rings into the Witt vectors

Kazuma Shimomoto|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値 $ p>0 $ の完備局所ネーター環 $ S $ の正規拡大 $ T $ が存在することを確立する。ここで $ T $ は $ S $ に整であり、$ \pi^p = p $ を満たす非ゼロ非単元 $ \pi $ を含み、$ T/\pi T $ 上でのフロベニウス写像が全単射である。この構成はウィットベクトルと最大エタール拡大を用い、半完全還元とフロベニウス写像のリフトを持つ環をもたらし、ビッグコhen-Macaulay代数およびパフォーマティック環の理論に貢献する。

ABSTRACT

The aim of this article is to prove some results on the existence of an integral extension domain of a complete local Noetherian domain in mixed characteristic $p>0$ having certain distinguished properties with respect to the Frobenius map. We prove the main results by constructing required extension domains via Witt vectors and the method of maximal étale extensions. It is worth remarking that the resulting algebras have deep connections with the homological conjectures and the rings in $p$-adic Hodge theory.

研究の動機と目的

• ノイザー環のウィットベクトルへの埋め込み問題を、特徴的なフロベニウス性質を有するものとして解くこと。
• $ S $-代数 $ T \subset S^+ $ を構成し、$ T $ は正規的で $ S $ に整であり、ある $ \pi \in T $ に対して $ T/\pi T $ 上でのフロベニウス写像が全単射となること。
• $ S^+ $ 内部の最大エタール拡大の明示的実現を、制御された分岐性とフロベニウス構造を備えた形で与えること。
• 混合特徴値 $ p>0 $ におけるビッグコhen-Macaulay代数およびパフォーマティック環の存在理論に貢献すること。

提案手法

• $ p $-典型的ウィットベクトルおよびその分岐拡大、特にウィット＝フロベニウス写像の理論を用い、$ T/\pi T $ の構造を制御する。
• $ S^+ $ の $ p $ での局域化における最大エタール拡大の手法を適用し、$ T[1/p] $ が適切な基本環上でのind-エタールとなるように保証する。
• $ S $ と $ S^+ $ の間の正規整域 $ T $ を構成し、$ \pi^p = p $ により $ T/\pi T \cong T/pT $ が成り立ち、$ T/\pi T $ 上でのフロベニウス写像の全単射性が導かれる。
• $ R_\infty $ を、有限エタール拡大のフィルタードコロイミットとして用い、$ T/\pi T $ を有限エタール $ R_\infty/\pi R_\infty $-代数のフィルタードコロイミットとして実現する。
• $ \pi T $ を含む最小素イデアル $ P $ に対して、$ T/P $ 上の $ q $-乗写像を、$ T $ 上の環自己同型 $ \mathbf{F} $ にリフトし、フロベニウス写像と整合性を持つようにする。
• アンドレの最近のほぼ純粋性およびパフォーマティック代数に関する結果に依拠し、所望の整性およびエタール性質を備えた $ T $ の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ S^+ $ の $ S $-代数 $ T \subset S^+ $ が存在し、$ T/\pi T $ が削減可能で、$ \pi T $ を含む最小素イデアル $ P $ に対して $ T/P $ 上でのフロベニウス写像が全単射であり、かつ $ \pi T $ が根基イデアルであるか？
• RQ2 $ S^+ $ 内部の最大エタール拡大が、$ \pi $-adic 基本環上で制御された分岐性とフロベニウス構造を備えた部分環 $ T $ として実現可能か？
• RQ3 $ T/P $ 上の $ q $-乗写像を、$ T $ 上の環自己同型にリフトし、$ T/\pi T $ 上のフロベニウス写像と可換にできるか？
• RQ4 任意の混合特徴値 $ p>0 $ の完備局所整域は、半完全還元とフロベニウス写像のリフトを持つビッグコhen-Macaulay代数をもつのか？

主な発見

• 正規的かつ $ S $ に整な $ S $-代数 $ T $ が存在し、$ \pi^p = p $、$ T/\pi T \cong T/pT $ が成り立ち、$ T/\pi T $ 上でのフロベニウス写像が全単射である。
• $ \pi T $ は根基イデアルであるため、$ \pi T = \bigcap_{i \in \Lambda} P_i $ が成り立ち、$ \{P_i\} $ は $ \pi T $ を含む最小素イデアルの族である。
• $ \pi T $ を含む各最小素イデアル $ P $ に対して、$ \mathbf{F}: T \xrightarrow{\sim} T $ なる環自己同型が存在し、$ \mathbf{F}(P) = P $ であり、$ \overline{\mathbf{F}}: T/P \xrightarrow{\sim} T/P $ は $ q = |\mathbb{F}| $ に対する $ q $-乗写像である。
• $ R \to S \to T $ を含む可換図式に $ T $ を埋め込める。ここで $ R = V[[x_2,\ldots,x_d]] $ は完備正則局所環であり、$ R[1/a] \to S[1/a] $ は $ \operatorname{ht}(p,a) = 2 $ を満たすエタール写像である。
• $ T[1/p] $ は $ S^+[1/p] $ 内の最大エタール拡大であるため、$ T[1/p] $ は $ S[1/p] $ 上でind-エタールであり、$ T[1/pa] $ は $ R[1/pa] $ 上でind-エタールである。
• $ T/\pi T[1/a] $ は、有限エタール $ R_\infty/\pi R_\infty[1/a] $-代数のフィルタードコロイミットである。また、$ T/\pi T[1/a] $ 上のフロベニウス写像は全単射である。