[論文レビュー] An example of stable excited state on nonlinear Schrödinger equation with nonlocal nonlinearity

Masaya Maeda, Satoshi Masaki|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非局所非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式について、従来の結果よりも広い関数空間（$Σ^{1/2}$）における大域的良設定性を確立し、任意に高いモーレス指数を有する安定な励起状態の存在を示した。これは、高モーレス指数が不安定性を意味するとされる一般的な信念に反する。主な貢献は、作用関数のヘッシアンのスペクトル解析を通じて、このような安定な励起状態の明示的例を構成したことにある。

ABSTRACT

In this article, we consider nonlinear Schrödinger equation with nonlocal nonlinearity which is a generalized model of the Schrödinger-Poisson system (Schrödinger-Newton equations) in low dimensions. We first prove the global well-posedness in wider space than in previous result and show the stability of standing waves including excites states. It turns out that an example of stable excite states with high Morse index is contained. Several examples of traveling-wave-type solutions are also given.

研究の動機と目的

• 非局所非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式の、$Σ^{1/2}$ という $Σ$ よりも弱い関数空間における大域的良設定性を、これまでの知見よりも広く確立すること。
• 非局所非線形性の文脈において、定常波解、特に励起状態の安定性を調査すること。
• 高モーレス指数を有する安定な励起状態の明示的例を構成し、このような状態が高モーレス指数であるにもかかわらず不安定であるとされる一般的な期待に反することを示すこと。
• 作用関数のヘッシアンのスペクトル特性を分析し、標準的な Grillakis-Shatah-Strauss 框組みを超えた安定性条件を同定すること。

提案手法

• 著者らは、非線形性展開における有界でない3番目の項を除去することで、$Σ^{1/2}$ に解を許容する修正された非線形シュレーディンガー方程式（H'）を導入した。
• 保存則を活用して、非線形性に含まれる有界でない項の時間発展を制御し、$Σ^{1/2}$ における良設定性を実現した。
• 定常波の安定性は、Grillakis-Shatah-Strauss理論を用いて分析され、特にモーレス指数 $n(S_{\omega}^{\prime\prime}(\phi_{\omega}))$ と周波数対質量写像 $d^{\prime\prime}(\omega)$ の2階微分が焦点となった。
• 1次元においてヘルミート関数を用いて明示的な定常波解を構成し、その安定性はヘッシアン $S_{\omega}^{\prime\prime}(\phi_{\omega})$ の有限次元部分空間におけるスペクトル解析を通じて決定された。
• スペクトル解析は、$Σ$ に属する関数 $Ω_{n-2}, \u03a9_n, \u03a9_{n+2}$ の張る空間上での $3 \times 3$ 行列問題に還元された。ここで $Ω_n$ はヘルミート関数を表す。
• ヘッシアンのブロックの特性多項式が導出・解析され、負の固有値の数が特定され、これがモーレス指数および安定性を決定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式について、$Σ$ よりも弱い関数空間において、大域的良設定性を確立できるか？
• RQ2 古典的期待とは対照的に、この非局所モデルにおいてモーレス指数が1より大きい安定な励起状態が存在するか？
• RQ3 無限遠において線形ポテンシャルのように振る舞う非局所非線形性が、定常波の安定性にどのように影響するか？
• RQ4 このような安定な高インデックス励起状態の明示的例を解析的に構成・検証できるか？
• RQ5 モーレス指数が高くなる場合、周波数対質量写像の2階微分 $d^{\prime\prime}(\omega)$ は安定性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 非線形性展開における有界でない3番目の項を除去することで、方程式 (H') は $Σ^{1/2}$ において大域的良設定であることが保証された。これは $Σ$ よりも厳密に大きな空間である。
• 本稿では、1次元におけるヘルミート関数 $Ω_n$ を用いて、明示的な定常波解の構成がなされた。
• ケース (II) 解について、ヘッシアン $S_{\omega}^{\prime\prime}(\Omega_n)$ は2つの負の固有値と1つの正の固有値を有し、モーレス指数が2であることが示された。
• 周波数対質量写像は $M=1$ で $d^{\prime\prime}(\omega) > 0$ を満たし、モーレス指数が2であり、かつ $n(S_{\omega}^{\prime\prime}) - \max(d^{\prime\prime}/|d^{\prime\prime}|, 0)$ が偶数であるため、定常波は安定である。
• 本稿では、任意に高いモーレス指数を有する安定な励起状態の存在が証明され、高モーレス指数が不安定性を意味するとされる一般的な信念に反する。
• ヘッシアンのスペクトル解析を通じて、励起状態の安定性が確認された。負の固有値の数と $d^{\prime\prime}(\omega)$ の振る舞いが、高モーレス指数であるにもかかわらず安定性基準を満たしていることが示された。