[論文レビュー] An explicit theory of $π_{1}^\mathrm{un,crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,μ_{N},\infty\})$ - II-3 : Sequences of multiple harmonic sums viewed as periods

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$p$-進環上での穴あき射影直線 $\mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\}$ の結晶的プロ-ユニポテンツ基本群族の明示的理論を構築し、素数重み付き多重調和和の列をガロア理論的枠組みで解釈する。連続的・局所化・ゼロにおける有理的実現という三つの主要構造を導入することで、周期写像を構成し、周期予想を提示。自然な条件下で、このような列が超越的であることを示した。

ABSTRACT

Let $X= ext{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup μ_{N}) ext{ }/ ext{ }W(\mathbb{F}_{q})$, with $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ and $\mathbb{F}_{q}$ of characteristic $p$ prime to $N$ and containing a primitive $N$-th root of unity. We establish an explicit theory of the crystalline Frobenius of the pro-unipotent fundamental groupoid of $X$. In part I, we have computed explicitly the Frobenius action. In part II, we use this computation to understand explicitly the algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values. We have used the ideas and the vocabulary of the Galois theory of periods, and in our framework, certain sequences of prime weighted multiple harmonic sums have been dealt with as if they were periods. In this II-3, we define three notions which essentialize our three types of computations, respectively : a "continuous" groupoid $π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})^{\hat{ ext{cont}}}$, a "localization" $π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})^{\loc}$ of $π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})$, and a "rational counterpart at zero" $π_{1}^{\un,\RT,0}(X_{K})$ of $π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})$. As an application, and as a conlcusion of this part II, we justify and clarify our Galois-theoretic point of view, in particular, we construct period maps and state period conjectures for sequences of prime weighted multiple harmonic sums.

研究の動機と目的

• 素数重み付き多重調和和の列を $p$-進ホッジ理論の文脈における周期として、ガロア理論的解釈を確立すること。
• シリーズの前半で導入された新しい数学的対象および計算戦略の本質的性質を明確化すること。
• デ・ラームプロ-ユニポテンツ基本群族の三つの異なる実現：連続的、局所化、ゼロにおける有理的実現を定義すること。
• 周期写像を構成し、多重調和和の列に対する明確な周期予想を提示すること。
• 調和和を通じて、巡回的 $p$-進多重ゼータ値の代数的関係を理解するための形式的枠組みを提供すること。

提案手法

• $p$-進収束を扱うために、デ・ラーム基本群族の完備化として連続的群族 $\pi_1^{\text{un,DR}}(X_K)^{\widehat{\text{cont}}}$ を導入する。
• 穴あき点、特に $0$ および $\infty$ の近傍での局所的挙動を分離するために、局所化 $\pi_1^{\text{un,DR}}(X_K)^{\text{loc}}$ を定義する。
• ゼロにおける有理的対応物 $\pi_1^{\text{un,RT},0}(X_K)$ を構成し、多重調和和を $\pi_1^{\text{un}}$ 構造に依存しない反復和としてモデル化する。
• 三つの実現を結ぶために、調和イハラ作用の三つの形態 $\circ_{\text{har}}^{\text{DR,DR}}, \circ_{\text{har}}^{\text{DR,RT}}, \circ_{\text{har}}^{\text{RT,RT}}$ を用いる。
• これらの実現の比較を応用し、周期写像を導出し、調和和列の超越性に関する予想を立てた。
• $\mathbb{Q}_p$ 上での形式的冪級数と収束議論を用いて、調和和の非自明な関係の消滅を分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数重み付き多重調和和の列は、ガロア理論的枠組みにおいて、厳密に周期として解釈可能だろうか？
• RQ2 巡回的 $p$-進多重ゼータ値の代数的関係の背後にある、幾何的および算術的構造は何か？
• RQ3 連続的・局所化・ゼロにおける有理的実現という三つの実現は、互いにどのように関係し、基本群族と結びつくのか？
• RQ4 $\mathbb{Q}[[H]]$ 上の非自明な形式的冪級数で、調和和列 $\operatorname{har}_{\mathcal{P}^\mathbb{N}}$ の $\mathbb{Q}_p$ 内の像に消えるものはあるか？
• RQ5 特に完全実または普遍的場合において、多重調和和の無限部分列の超越的性質は何か？

主な発見

• 本稿は、素数重み付き多重調和和の列に対する周期写像を構成し、$p$-進ガロア理論的設定におけるその周期的解釈を形式化した。
• $\mathbb{P}^1 - \{0,1,\infty\}$ に対して、 $\operatorname{har}_{\mathcal{P}^\mathbb{N}}(w)$ の任意の無限部分列は、写像 $n \mapsto \operatorname{har}_n(s_d,\ldots,s_1)$ の単射性により超越的であることを証明した。
• 代数的数 $z_i \in \mathbb{R}^{+*}$ を持つ完全実配置では、 $\operatorname{har}_{\mathcal{P}^\mathbb{N}}(w)$ の任意の無限部分列は、再び単射性とその値の超越性により超越的である。
• 形式的変数 $T_1,\ldots,T_{d+1}$ を持つ普遍的状況では、多項式 $P_{s_1,\ldots,s_d,n}(T_1,\ldots,T_{d+1})$ は互いに相異なるものであり、 $T_{d+1}$ に関して次数が増加するため、その列の超越性が示された。
• 任意の語 $w$ に対して、写像 $n \mapsto \sigma_n(\tilde{w})$ による任意のシングルトンの逆像が有限であると予想し、これにより無限に多くの異なる値が得られ、従って $\operatorname{har}_{\mathcal{P}^\mathbb{N}}(w)$ の超越性が示唆された。
• この枠組みは、調和イハラ作用が三つの実現を結ぶ橋渡しを果たすことで、多重調和和を周期として見なす根拠を提供し、明示的な代数的関係と予想される周期的構造を可能にする。