[論文レビュー] An Exploration of the Singularities in General Relativity

Ovidiu Cristinel Stoica|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における特異点を扱うフレームワークを提案する。特異点のうち、計量が滑らかだが退化的（det g → 0）である「無害な」特異点のクラスを同定し、それらが定義可能な幾何的不変量および場の運動方程式を許容することを示す。座標変換を用いて、シュバルツシルト、ライスナー＝ノールストローム、およびカー＝ニューマンの特異点が滑らかにできることが示され、これは量子重力における次元削減と関連づけられる。準正則特異点はペンローズのウェイル曲率仮説を満たす。

ABSTRACT

Seminar held at JINR, Dubna, May 15, 2012. In General Relativity, spacetime singularities raise a number of problems, both mathematical and physical. One can identify a class of singularities - with smooth but degenerate metric - which, under a set of conditions, allow us to define proper geometric invariants, and to write field equations, including equations which are equivalent to Einstein's at non-singular points, but remain well-defined and smooth at singularities. This class of singularities is large enough to contain isotropic singularities, warped-product singularities, including the Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker singularities, etc. Also a Big-Bang singularity of this type automatically satisfies Penrose's Weyl curvature hypothesis. The Schwarzschild, Reissner-Nordstrom, and Kerr-Newman singularities apparently are not of this benign type, but we can pass to coordinates in which they become benign. The charged black hole solutions Reissner-Nordstrom and Kerr-Newman can be used to model classical charged particles in General Relativity. Their electromagnetic potential and electromagnetic field are analytic in the new coordinates - they have finite values at r=0. There are hints from Quantum Field Theory and Quantum Gravity that a dimensional reduction is required at small scale. A possible explanation is provided by benign singularities, because some of their properties correspond to a reduction of dimensionality.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における根本的問題である時空特異点と、量子重力の摂動的非可重整化性を解決すること。
• 特異点を「悪性」（計量成分の発散）と「無害」（滑らかな計量、退化する行列式）に分類し、後者に注目して物理的・数学的に取り扱えるものとする。
• 退化計量においてもアインシュタイン方程式を一般化された非特異形で保つ幾何的フレームワークを構築すること。
• シュバルツシルト、ライスナー＝ノールストローム、カー＝ニューマンの特異点が、座標変換によって無害な形に変換可能であることを示すこと。
• 無害特異点の幾何的性質と、量子場理論および量子重力における次元削減の兆候を結びつけること。

提案手法

• 計量が滑らかだが det g → 0 である「準正則」と「準正則」時空の概念を導入し、非特異な幾何的不変量の定義を可能にする。
• クルカラニ＝ノミズ積と密度化された曲率不変量（例：$ R_{ab} \sqrt{|\det g|}^W $）を用いて、特異な曲率テンソルに代わる表現を構築する。
• 「拡張されたアインシュタイン方程式」$ (G \circ g)_{abcd} + \Lambda(g \circ g)_{abcd} = \kappa(T \circ g)_{abcd} $ を提案し、det g ≠ 0 のときにはアインシュタイン方程式に還元されることを示す。
• 座標変換を適用して、ライスナー＝ノールストロームおよびカー＝ニューマン計量が r = 0 で解析的になるようにし、顕在的な特異点を除去する。
• クプラリの定理を適用し、退化計量が局所的に低次元の積に分解可能であることを示し、計量に起因する次元削減を示唆する。
• 準正則特異点におけるウェイル曲率の消滅（$ C_{abcd} \to 0 $）を、ペンローズのウェイル曲率仮説と結びつけ、局所的重力自由度の不在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における特異点は、物理法則を保ちつつ、滑らかで退化的な計量として再解釈可能か？
• RQ2 シュバルツシルト、ライスナー＝ノールストローム、およびカー＝ニューマンの特異点は、適切な座標系のもとで「無害な」特異点のクラスに属するか？
• RQ3 一般相対性理論における場の運動方程式は、退化計量においても定義可能で滑らかに保たれる形に再定式化可能か？
• RQ4 計量の退化と関連する小スケールにおける次元削減の幾何的メカニズムは存在するか？
• RQ5 準正則特異点は自然にペンローズのウェイル曲率仮説を満たし、宇宙の低エントロピー初期状態を説明できるか？

主な発見

• 計量が滑らかだが det g → 0 である「無害特異点」では、密度化形式やクルカラニ＝ノミズ形式のリーマンテンソルといった非特異な幾何的不変量を定義可能である。
• ライスナー＝ノールストロームおよびカー＝ニューマン特異点は、新しい座標系において解析的であり、r = 0 で有限の電磁ポテンシャルおよび電場が得られる。
• 準正則特異点ではウェイル曲率が消える（$ C_{abcd} \to 0 $）ことが示され、ペンローズのウェイル曲率仮説を満たし、局所的重力自由度の不在を示唆する。
• 拡張されたアインシュタイン方程式は非退化領域ではアインシュタイン方程式と等価であり、特異点でも定義可能であるため、一貫した場の理論フレームワークを提供する。
• 計量の退化は、$ \dim T_p^\bullet M = \text{rank } g_p $ として、局所的な有効時空次元の低下を引き起こし、量子重力における次元削減の幾何的起源を示唆する。
• 粒子密度の増加（特異点）に伴い平均計量行列式が減少し、小スケールにおける量子場理論の正則化が可能になるという仮説が支持される。