[論文レビュー] Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the lower order case

Jun Hu, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$ℝ^n$ 内の単体メッシュ上で、対称テンソルのための低次の有限要素空間を統一的に構築する手法を提示する。この手法は、$H(\operatorname{div})-P_k$ 空間に、$(n-1)$ 次元単体上での $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ バブル関数を付加することで実現される。この方法により、最適な収束速度が達成されるとともに、2次元では18+3、3次元では48+6の自由度に削減され、過去の記録（21+3 および 156+6）を上回る。安定性は微分形式を用いない統一的アプローチにより保証される。

ABSTRACT

In this paper, we construct, in a unified fashion, lower order finite element subspaces of spaces of symmetric tensors with square-integrable divergence on a domain in any dimension. These subspaces are essentially the symmetric H(div)-Pk (1=

研究の動機と目的

• 任意の次元における単体メッシュ上での混合定式化において、対称テンソル場のための安定的かつ適合的な有限要素空間を構築すること。
• 既存の構成と比較して、2次元および3次元における1次混合要素の自由度（DOFs）を低減すること。
• 1次系のための補助的混合有限要素族を、微分形式に依存せずに統一的かつ一貫した方法で構築すること。
• $(n-1)$ 次元の面上での $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ バブル関数による $H(\operatorname{div})-P_k$ 空間の付加により、離散のinf-sup条件が満たされることを保証すること。

提案手法

• 各 $(n-1)$ 次元単体上での $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ バブル関数による付加を用いて、$H(\operatorname{div},\Omega;\mathbb{S})$-適合有限要素空間を構築する。
• $1 \leq k \leq n-1$ の場合、各 $(n-1)$-単体に $\frac{(n+1)n}{2}$ 個のバブル関数を付加する。$k=n$ の場合、$\frac{(n-1)n}{2}$ 個の関数を用いる。
• 微分形式に依存しない統一的フレームワークを用いて、補助的混合有限要素族を導出する。
• バブル関数による付加によって剛体運動空間を制御し、離散のinf-sup条件が満たされることを保証することで安定性を確保する。
• 付加された対称テンソル空間を、非連続な $P_{k-1}$ 多項式とペairリングすることで、対称テンソル問題の混合定式化に適用する。
• 線形弾性の正確解が与えられる単位正方形上での収束性の数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体メッシュ上での $\mathbb{R}^n$ 内の対称テンソルのための統一的で低次の有限要素空間を、微分形式を用いずに構築可能か？
• RQ2 2次元および3次元における単体メッシュ上での1次混合有限要素に必要な最小自由度は何か？
• RQ3 $H(\operatorname{div})$-適合対称テンソル空間に対して、低次の多項式形状関数を用いた場合、離散のinf-sup条件を満たす方法は何か？
• RQ4 この構成を、Raviart-Thomas や Arnold-Winther 要素といった既知の例を含む、補助的混合有限要素族に拡張可能か？

主な発見

• 提案手法により、1次混合要素の要素あたりの総自由度は2次元で18 + 3、3次元で48 + 6に削減され、それぞれ過去の記録（21 + 3 および 156 + 6）を上回る。
• 数値的検証により、$L^2$-ノルムにおける変位および応力の収束速度が $h^2$ 階、応力の誤差の発散についても $h^2$ 階の最適収束が確認された。
• 21自由度の Arnold–Winther 要素は変位および応力で $h^1$ 階収束にとどまるが、18自由度の新要素は $h^2$ 階収束を達成しており、これは完全な $P_1$ 変位空間の使用によるものである。
• バブル関数による付加により、剛体運動空間が制御され、離散のinf-sup条件が満たされる。これにより、微分形式に依存せずに安定な混合定式化が可能になる。
• 本手法により、Raviart–Thomas（1次元）、Arnold–Winther（2次元）、Arnold–Awanou–Winther（3次元）要素が特殊ケースとして含まれる統一的有限要素族が得られる。
• 数値結果により、新要素は計算複雑性が類似しているにもかかわらず、精度と収束次数の両面で Arnold–Winther 要素を上回ることが確認された。