[論文レビュー] An idea on proving weighted Sobolev embeddings

Klaus Gansberger|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、重み付きソボレフ空間 $ H^1(\bbR^n, \fhi) $ から $ L^2(\bbR^n, \fhi) $ へのコンパクト埋込みの特徴付けを、シュレーディンガー作用素を用いた再定式化によって確立する。主な結果は、作用素 $ \mathcal{S} = -\Delta + \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ のリゾルベントのコンパクト性と関連づけられ、必要な十分条件は重み関数の微分とウィーナー容量の観点から記述される。

ABSTRACT

This article contains a characterization of when certain weighted Sobolev spaces on $\Bbb R^n$ embed compactly into $L^2(\mathbb R^n, φ)$. The characterization is in terms of derivatives of the weight function $φ$ and involves the Wiener capacity, as it is obtained from reformulating the problem in terms of resolvent properties of Schrödinger operators. This reformulation also works for general domains.

研究の動機と目的

• 重み付きソボレフ空間 $ H^1(\bbR^n, \fhi) $ が $ L^2(\bbR^n, \fhi) $ にコンパクトに埋込まれる条件を特徴づけること。
• 重み関数 $ \fhi $ から導かれるシュレーディンガー作用素のリゾルベントのコンパクト性と、コンパクトなソボレフ埋込みとの関係を確立すること。
• ディリクレ型およびフォン・ノイマン型のシュレーディンガー作用素の実現を用いて、一般の非有界領域への特徴付けを拡張すること。
• 重み関数の微分と幾何学的容量論を用いた、コンパクト埋込みの必要十分条件を提示すること。

提案手法

• コンパクト埋込み問題を、$ \mathcal{S} = -\Delta + V $ と表されるシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質に再定式化する。ここで $ V = \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ である。
• 既知のスペクトル理論を用いて、$ \mathcal{S} $ のコンパクトリゾルベントが $ H^1(\bbR^n, \fhi) $ から $ L^2(\bbR^n, \fhi) $ へのコンパクト埋込みを示すことを示す。
• ウィーナー容量基準を適用し、$ \fhi $ が無限遠でどのように振る舞うかに応じて、$ \mathcal{S} $ がコンパクトリゾルベントを持つ条件を特徴づける。
• 一般の領域 $ \Omega $ に対して、$ H^1_0(\Omega, \fhi) $ と $ H^1(\Omega, \fhi) $ を区別し、それらのコンパクト埋込みを $ \mathcal{S}_1 $ のディリクレ実現およびフォン・ノイマン実現に関連付ける。
• 境界を持つ領域におけるシュレーディンガー作用素の適切な自己共役実現を特定するため、二次形式のフリードリッヒス拡張を用いる。
• フェッファーマン＝フォンの補題や既知のシュレーディンガー作用素のコンパクトリゾルベントの基準を活用し、十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み関数 $ \fhi $ がどのような条件下で、埋込み $ H^1(\bbR^n, \fhi) \hookrightarrow L^2(\bbR^n, \fhi) $ がコンパクトになるか？
• RQ2 重み関数 $ \fhi $ から導かれるシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を用いて、埋込みのコンパクト性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ウィーナー容量は、埋込みのコンパクト性を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 $ \bbR^n $ から境界を持つ一般の非有界領域への結果の拡張はどのように行われるか？
• RQ5 重み付きソボレフ空間 $ H^1(\Omega, \fhi) $ とシュレーディンガー作用素 $ \mathcal{S}_1 $（ポテンシャル $ V_1 $ を持つ）との関係は何か？

主な発見

• 埋込み $ H^1(\bbR^n, \fhi) \hookrightarrow L^2(\bbR^n, \fhi) $ がコンパクトであるための必要十分条件は、シュレーディンガー作用素 $ \mathcal{S} = -\Delta + \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ がコンパクトリゾルベントを持つことである。
• コンパクト埋込みの必要十分条件は、$ |x| \to \infty $ のとき $ \int_{\bbB(x,1)} \left( \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi \right) d\lambda \to \infty $ となることである。
• $ \mathcal{S} $ のリゾルベントのコンパクト性は、中心を無限遠に動かすときの固定半径の球上でポテンシャル $ V = \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ の積分が発散することと同値である。
• 一般の領域 $ \Omega $ に対して、埋込み $ H^1_0(\Omega, \fhi) \hookrightarrow L^2(\Omega, \fhi) $ がコンパクトであるための必要十分条件は、$ \mathcal{S}_1 $ のディリクレ実現がコンパクトリゾルベントを持つことである。
• 同様に、埋込み $ H^1(\Omega, \fhi) \hookrightarrow L^2(\Omega, \fhi) $ がコンパクトであるための必要十分条件は、$ \mathcal{S}_1 $ のフォン・ノイマン実現がコンパクトリゾルベントを持つことである。
• 結果は、ソボレフノルムをシュレーディンガー作用素の二次形式に関連づけ、スペクトル理論（フリードリッヒス拡張および [7] やフェッファーマン＝フォンの補題からのコンパクト性基準）を用いることで導出された。