[論文レビュー] An index theorem for CR manifolds with $S^1$ action

Jih-Hsin Cheng, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$2n+1$次元のコンパクトなCR多様体 $X$ に対して、横断的かつ局所自由な $S^1$作用と剛体なCRベクトル束 $E$ を備えた場合のインデックス定理を確立する。$\bar\partial_b$-コホモロジー群の $m$-番目のフーリエ成分のオイラー乗数は、$E$ の接続的チェーン特性、$T^{1,0}X$ の接続的トッド類、およびレヴィ曲率のチェーン多項式を用いて記述され、CR関数やセクションの構成を可能にするとともに、カワサキのオルビフォールドインデックス公式の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

Let $(X, T^{1,0}X)$ be a compact CR manifold of dimension $2n+1$ with a transversal CR locally free $S^1$ action and let $E$ be a rigid CR vector bundle over $X$. For every $m\in\mathbb Z$, let $H^j_{b,m}(X,E)$ be the $m$-th $S^1$ Fourier coefficient of the $j$-th $\ddbar_b$ Kohn-Rossi cohomology group with values in $E$. In this paper, we prove that the Euler characteristic $\sum\limits^n_{j=0}(-1)^j{ m dim}H^j_{b,m}(X,E)$ can be computed in terms of the tangential Chern character of $E$, the tangential Todd class of $T^{1,0}X$, and the Chern polynomial of the Levi curvature of $X$. As applications, we can produce many CR functions on a weakly pseudoconvex CR manifold with such an $S^1$ action and many CR sections on some class of CR manifolds. In some cases, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold with an orbifold holomorphic line bundle by an integral over a smooth CR manifold.

研究の動機と目的

• CR多様体に $S^1$作用を備えた場合の $\bar\partial_b$-コホモロジーの $m$-番目のフーリエ成分のオイラー乗数に対する計算可能な公式を導出すること。
• CR不変量と特性類の間の関係を確立すること。具体的には、$E$ の接続的チェーン特性、$T^{1,0}X$ の接続的トッド類、およびレヴィ曲率のチェーン多項式を含む。
• インデックス定理を用いて、弱い擬凸性を持つCR多様体に $S^1$作用を備えた場合に非自明なCR関数を構成すること。
• このインデックス定理を用いて、滑らかなCR多様体上での積分により、複素オルビフォールドのヒルツェブルーク・リーマン・ローチ公式を再解釈すること。

提案手法

• 著者たちは、剛体なCRベクトル束 $E$ に値をとる $j$-番目の $\bar\partial_b$-コホモロジー群の $m$-番目の $S^1$フーリエ係数 $H^j_{b,m}(X,E)$ を分析する。
• インデックス公式の中心的特性類として、$E$ の接続的チェーン特性と、複素接ベクトル束 $T^{1,0}X$ の接続的トッド類を用いる。
• CR多様体のレヴィ曲率は、そのチェーン多項式によって符号化され、インデックス式に寄与する。
• インデックス定理は、これらの特性類を含むグローバル積分として、オイラー乗数 $\sum_{j=0}^n (-1)^j \dim H^j_{b,m}(X,E)$ を表現する。
• この手法は、$S^1$作用の横断性と剛性に依存しており、問題を特性類の計算に還元可能である。
• 構成は、CR構造と $S^1$-等変性を活用し、コホモロジー不変量と幾何的データを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CR多様体に $S^1$作用を備えた場合、$\bar\partial_b$-コホモロジーの $m$-番目のフーリエ成分のオイラー乗数は、特性類を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 $E$ の接続的チェーン特性と $T^{1,0}X$ の接続的トッド類は、このインデックスを計算する上で果たす役割は何か？
• RQ3 このインデックス公式を用いて、弱い擬凸性を持つCR多様体に $S^1$作用を備えた場合に非自明なCR関数を構成できるか？
• RQ4 カワサキの複素オルビフォールドのヒルツェブルーク・リーマン・ローチ公式は、このインデックス定理を用いて、滑らかなCR多様体上の積分としてどの程度まで再構成可能か？
• RQ5 レヴィ曲率のチェーン多項式は、インデックス計算にどのように寄与するか？

主な発見

• オイラー乗数 $\sum_{j=0}^n (-1)^j \dim H^j_{b,m}(X,E)$ は、$E$ の接続的チェーン特性、$T^{1,0}X$ の接続的トッド類、およびレヴィ曲率のチェーン多項式を含むグローバル積分として計算される。
• インデックス公式により、横断的 $S^1$作用を備えた弱い擬凸性を持つCR多様体上に多数のCR関数を構成可能である。
• この公式により、特定のクラスのCR多様体上で、コホモロジー次元のインデックス理論的制御を介して多数のCRセクションを生成可能である。
• 特定の状況では、カワサキの複素オルビフォールドに於けるヒルツェブルーク・リーマン・ローチ公式は、このインデックス定理を用いて滑らかなCR多様体上の積分として再解釈可能である。
• この結果は、特性類論を通じて、オルビフォールドインデックス理論と滑らかなCR幾何学との間に幾何的ブリッジを提供する。
• 定理は、CR多様体の $S^1$-等変コホモロジーと、CR構造およびバンドルデータから導かれる特性類との間の明確な関係を確立する。