[論文レビュー] Morse inequalities for Fourier components of Kohn-Rossi cohomology of CR manifolds with $S^1$-action

Chin-Yu Hsiao, Xiaoshan Li|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$2n-1$次元（$n \geq 2$）のコンパクトなCR多様体に横断的CR $S^1$-作用が与えられた場合、Kohn-Rossiコホモロジーのフーリエ成分に対するモーツィング不等式を確立する。これらの成分のシュタイケル核を分析することで、正のフーリエモードの次元に対する漸近的推定を得ており、点で強く擬凸である弱擬凸CR多様体には豊富なCR関数が存在することを証明し、$H^0_{b,m}(X)$ の成長に関する核心的問題を解決する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected CR manifold of dimension $2n-1, n\geq 2$ with a transversal CR $S^1$-action on $X$. We study the Fourier components of the Kohn-Rossi cohomology with respect to the $S^1$-action. By studying the Szegö kernel of the Fourier components we establish the Morse inequalities on $X$. Using the Morse inequalities we have established on $X$ we prove that there are abundant CR functions on $X$ when $X$ is weakly pseudoconvex and strongly pseudoconvex at a point.

研究の動機と目的

• CR多様体に$S^1$-作用を伴うKohn-Rossiコホモロジーの正のフーリエ成分の次元の漸近的成長を理解すること。
• $\dim H^0_{b,m}(X) \approx m^{n-1}$ が大きな$m$に対して成り立つ条件を特定すること、これはCR埋め込み問題の中心的である。
• 横断的CR $S^1$-作用を伴う弱擬凸CR多様体が点で強く擬凸である場合、モーツィング型推定を用いて豊富なCR関数の存在を証明すること。

提案手法

• 著者らは、$\overline{\partial}_b$-複体のフーリエ成分のシュタイケル核を分析し、スペクトル推定を得る。
• 局所座標におけるスケーリング技法を用いて、$S^1$-作用の基点付近でのシュタイケル核の挙動を研究する。
• 証明は、$S^1$-作用に適合した標準的局所座標とスケーリング極限を用いて、主要項の漸近的挙動を抽出することに依拠する。
• スペクトル理論と微局所解析を用いて、$m \to \infty$ のときのKohn-Rossiコホモロジーの$m$番目のフーリエ成分に対する弱および強モーツィング不等式を確立する。
• 著者らは$S^1$-作用の固定点集合の構造を分析し、非自明な安定化部分群を持つ点の集合が測度ゼロであり、かつどこでも稠密でないことを証明する。
• 主な技術的ステップは、$\lim_{m \to \infty} m^{-(n-1)} |\alpha_{m,1}(p)|^2 = \frac{|\lambda_1(p) \cdots \lambda_{n-1}(p)|}{2\pi^n}$ を示すことであり、これによりシュタイケル核の正確な漸近的成長が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな$m$に対して$\dim H^0_{b,m}(X) \approx m^{n-1}$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 CR多様体に$S^1$-作用を伴うKohn-Rossiコホモロジーのフーリエ成分に対して、モーツィング不等式を確立できるか？
• RQ3 横断的CR $S^1$-作用を伴う弱擬凸CR多様体が点で強く擬凸である場合、正のフーリエモードにおけるCR関数の豊富さが保証されるか？
• RQ4 $S^1$-作用は、CR多様体上の$\overline{\partial}_b$-複体のスペクトル的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $m \to \infty$ のとき、$m$番目のフーリエ成分のシュタイケル核の正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• 著者らは、横断的CR $S^1$-作用を伴うコンパクトなCR多様体上でのKohn-Rossiコホモロジーの$m$番目のフーリエ成分に対して、弱および強モーツィング不等式を確立する。
• 大きな$m$に対して、CR関数の$m$番目の正のフーリエ成分の次元は、$\dim H^0_{b,m}(X) \sim c \cdot m^{n-1}$ を満たす。ここで$c$は、強く擬凸な点におけるレヴィ形式に依存する定数である。
• 極限$\lim_{m \to \infty} m^{-(n-1)} |\alpha_{m,1}(p)|^2 = \frac{|\lambda_1(p) \cdots \lambda_{n-1}(p)|}{2\pi^n}$ が証明され、点$p$におけるシュタイケル核の正確な主要項の漸近的挙動が得られる。
• 非自明な$S^1$-安定化部分群を持つ点の集合は測度ゼロであり、かつどこでも稠密でないため、漸近的解析における正則点の一般性が保証される。
• 本稿では、横断的CR $S^1$-作用を伴うコンパクトな弱擬凸CR多様体が、強く擬凸な点を1つ以上持つ場合、正のフーリエモードに豊富なCR関数が存在することを証明する。
• シュタイケル核の漸近的成長が、レヴィ形式の固有値によって制御されることを示し、強く擬凸な点における曲率の幾何的意義を確認する。