[論文レビュー] An infinite dimensional Schur-Horn theorem and majorization theory with applications to operator ideals

Victor Kaftal, Gary Weiss|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、無限次元設定への古典的Schur-Horn定理の拡張を、指定された固有値列と対角列を持つ正規コンパクト作用素の存在を、無限大の主要化条件を用いて特徴付けることで行っている。主な結果は、ゼロに収束する非増加で非summableな列に対して、そのような作用素が存在するための必要十分条件が、対角列が固有値列の無限大における主要化であるか、等価的に、固有値列に直交ストアチスティック行列を作用させた結果が対角列であることに他ならないことである。

ABSTRACT

The main result of this paper is the extension of the Schur-Horn Theorem to infinite sequences: For two nonincreasing nonsummable sequences x and y that converge to 0, there exists a compact operator A with eigenvalue list y and diagonal sequence x if and only if y majorizes x (\sum_{j=1}^n x_j \le \sum_{j=1}^n y_j for all n) if and only if x = Qy for some orthostochastic matrix Q. The similar result requiring equality of the infinite series in the case that the sequences x and y are summable is an extension of a recent theorem by Arveson and Kadison. Our proof depends on the construction and analysis of an infinite product of T-transform matrices. Further results on majorization for infinite sequences providing "intermediate" sequences generalize known results from the finite case. Majorization properties and invariance under various classes of stochastic matrices are then used to characterize arithmetic mean closed operator ideals.

研究の動機と目的

• 正規コンパクト作用素の固有値列および対角列の有限次元Schur-Horn定理を無限次元の列に拡張すること。
• 特に非summableおよびsummableな場合を含め、無限大主要化条件を用いて、このような作用素の存在を特徴付けること。
• 主要化理論、確率行列（特に直交ストアチスティック行列）および算術平均閉作用素理想の構造との関係を確立すること。
• 有限主要化結果（中間列定理、テイル主要化など）を無限列に一般化すること。
• 特定のクラスの確率行列に関して不変である作用素理想を特徴付け、これと算術平均閉性を結びつけること。

提案手法

• 必要な作用素の対角を固有値列から得るために、T変換行列の無限積を導入・分析する。
• 無限列のための新しい主要化関係を定義・採用する：主要化（$\xi \prec \eta$）、強主要化（$\xi \preccurlyeq \eta$）、ブロック主要化（$\xi \prec_b \eta$）、および無限大における主要化（$\xi \prec_\infty \eta$）。
• 有限の双確率行列を置換行列の凸結合として表すBirkhoffの定理を用い、これを無限大ブロック確率行列へと拡張する。
• $t_k > 0$、$\sum t_k = 1$、$P_k$ を有限双確率行列とする形のブロック確率行列 $P = \bigoplus_k t_k P_k$ を構成し、無限次元確率的作用をモデル化する。
• 直交ストアチスティック行列（直交行列の平方）の理論を用いて、無限次元ヒルベルト空間における自己共役作用素の対角-固有値対応を特徴付ける。
• 作用素理想がブロック確率行列および一般確率行列に関して不変であることを証明し、これと算術平均閉性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非増加で非summableな列 $\eta$ と非増加対角列 $\xi$ を持つ正規コンパクト作用素が、無限次元で存在するための条件は何か？
• RQ2 固有値列および対角列が非summableでゼロに収束する場合を含め、古典的Schur-Horn定理を無限列にどのように一般化できるか？
• RQ3 無限次元ヒルベルト空間における自己共役作用素の対角列を特徴付ける際に、直交ストアチスティック行列は果たす役割は何か？
• RQ4 特に強主要化および無限大における主要化といった主要化関係は、算術平均閉作用素理想の構造をどのように特徴付けるか？
• RQ5 作用素理想がブロック確率行列に関して不変であり、したがって算術平均閉であるための条件は何か？

主な発見

• 非増加で非summableな列 $\xi, \eta \in c_0^*$ がゼロに収束するとき、固有値リスト $\eta$ および対角 $\xi$ を持つ正規コンパクト作用素が存在するための必要十分条件は、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $\sum_{j=1}^n \xi_j \leq \sum_{j=1}^n \eta_j$ が成り立つこと、すなわち $\xi \prec \eta$ であることである。
• 同じ特徴づけは、$\xi, \eta \in (\ell^1)^*$ であるsummable列に対しても成り立ち、$\xi \prec \eta$ かつ $\sum_{j=1}^\infty \xi_j = \sum_{j=1}^\infty \eta_j$ であるときに限る。これはArvesonとKadisonの結果を拡張する。
• 対角列 $\xi$ が固有値列 $\eta$ に直交ストアチスティック行列 $Q$ を作用させることで得られるための必要十分条件は $\xi \prec \eta$ であることである。これは有限次元のHornの定理を一般化する。
• 主要化のもとで、無限列に対し $\xi \preccurlyeq \zeta \leq \eta$ および $\xi \leq \rho \preccurlyeq \eta$ を満たす中間列 $\zeta$ および $\rho$ の存在が示された。
• ブロック確率行列のクラス $\mathscr{C}$ に関して不変で、かつソフトエッジまたはソフト補完性をもつ作用素理想は、算術平均閉であることが示された。
• 本論文では、$\mathscr{C}$ に関して不変であるが算術平均閉でない反例（Vargaの理想）を構成し、算術平均閉性のためにはソフトエッジまたはソフト補完性の条件が必要であることを示した。