[論文レビュー] An Information-Theoretic Proof of the Constructive Commutative Quantum Lovász Local Lemma

Martin Schwarz, Toby S. Cubitt+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、局所的制約を伴う可換な量子ハミルトニアンのゼロエネルギー基底状態を、モーザーの古典的アルゴリズムにインspiredした情報理論的アプローチを用いて、効率的に準備する量子アルゴリズムを提示する。可換な状況における対称的量子ロヴァーシュ・ローカル・レーム（QLLL）に対して、構成的かつ効率的な量子アルゴリズムを確立し、元のレームの非構成的境界と一致するタイトな実行時間と誤差保証を達成する。

ABSTRACT

The Quantum Lovász Local Lemma (QLLL) [AKS12] establishes non-constructively that any quantum system constrained by a local Hamiltonian has a zero-energy ground state, if the local Hamiltonian terms overlap only in a certain restricted way. In this paper, we present an efficient quantum algorithm to prepare this ground state for the special case of commuting projector terms. The related classical problem has been open for more than 34 years. Our algorithm follows the breakthrough ideas of Moser's [Moser09] classical algorithm and lifts his information theoretic argument to the quantum setting. A similar result has been independently published by Arad and Sattath [AS13] recently.

研究の動機と目的

• 可換な局所的ハミルトニアン項を伴う量子系におけるゼロエネルギー基底状態を、構成的かつ効率的に準備する量子アルゴリズムを提供すること。
• モーザーの古典的情報理論的議論を、特に可換な射影に一般化して量子設定に適用すること。
• 非構成的対称量子ロヴァーシュ・ローカル・レーム（QLLL）のパrameterと一致するタイトな実行時間と誤差境界を達成すること。
• 長年の未解決問題である、局所的制約下での高いたくさんエンタングル状態の効率的準備という、量子ハミルトニアン複雑性分野の問題を解決すること。
• 古典的構成的 LLL がこの量子アルゴリズムの特別な場合として回復できることを示し、その一般性を検証すること。

提案手法

• コherent 測定とビット列の量子圧縮を用いて、モーザーの古典的情報理論的議論を量子ドメインに昇華する。
• 測定失敗を追跡し、状態更新を導くスタックレジスタを用いた再帰的量子アルゴリズムを採用する。
• 作業レジスタ $W$ を最大混合状態で初期化し、ランダムネスレジスタ $R$ を用いて測定用のコherent ランダムビットを生成する。
• 典型部分空間定理の強い逆効果を適用して誤差確率を制限し、収束を保証する。
• エントロピーの境界を活用して、再帰のログレジスタ $L$ における圧縮サブルーチンを実装し、必要な操作回数を削減する。
• 再帰の深さと状態遷移を管理するため、終了レジスタ $term$ とフラグレジスタ $F$ および $L$ を使用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーザーの古典的構成的 LLL アルゴリズムは、可換な射影に対して量子設定に一般化可能か？
• RQ2 可換 QLLL の設定において、ゼロエネルギー基底状態を準備するために必要な最小の実行時間と誤差確率は何か？
• RQ3 情報理論的圧縮技術を用いて、局所的ハミルトニアンのための量子アルゴリズムの実行時間境界をタイトにできるか？
• RQ4 この量子アルゴリズムは、非構成的 QLLL と同一の閾値パrameter、特に $d \leq 2^k / (re)$ を達成するか？
• RQ5 この量子アルゴリズムの特別な場合として、古典的構成的 LLL が回復可能か？

主な発見

• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、実行時間が $O(m + \log(1/\varepsilon))$ に抑えられ、最適な古典的境界と一致する。
• 成功確率は $1 - \varepsilon$ であり、誤差は典型部分空間定理の強い逆効果を用いて制限される。
• アルゴリズムはすべての $i$ に対して $\operatorname{Tr}(\Pi_i \sigma) = 0$ を満たす量子状態 $\sigma$ を準備し、ゼロエネルギー基底状態を確認する。
• 非構成的対称 QLLL と同一の仮定下で、モーザーの古典的議論をタイトに改善する。
• 実行時間境界は、再帰の深さ $N$ のタイトな解析により導出され、$b + 3a(\log(b) + 1)$ で上限が与えられる。ここで $a = (k - \log(de))^{-1}$ および $b = (m + \log(1/\varepsilon)) / (k - \log(de))$ である。
• 同様の閾値 $d \leq 2^k / (re)$ を有する、ランクが $r$ 以下の可換 $k$-局所的射影に対して、このアルゴリズムは有効である。