[論文レビュー] An Initial Study on P, P 0 , B and B 0 Tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 30被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、P、P₀、B、B₀行列の概念を高次テンソルへと拡張し、対称テンソルがP（P₀）テンソルであるための必要十分条件として、それが正定値（半正定値）であることに等しいことを証明している。主な性質として、主テンソルの不変性を確立し、BおよびB₀テンソルを識別する検査可能な条件を提示。Zテンソルにおける対角優勢性と関連づけ、最適化および補完性問題と結びつける。

ABSTRACT

P and P0 matrices have a long history and wide applications. A symmetric matrix is a P (P0) matrix if and only if it is positive (semi-)definite. In this paper, we extend the concept of P and P0 matrices to P and P0 tensors. We show that a symmetric tensor is a P (P0) tensor if and only if it is positive (semi-)definite. We show that every principal sub-tensor of a P (P0) tensor is still a P (P0) tensor, and give some sufficient and necessary conditions for a tensor to be a P (P0) tensor. The class of B matrices is a subclass of P matrices. We extend the concept of B matrices to B and B0 tensors. It is easily checkable if a given tensor is a B or B0 tensor or not. We show that a Z tensor is diagonally dominated if and only if its is also a B0 tensor. The potential links of P, P0, B and B0 tensors with optimization, nonlinear equations, nonlinear complementarity problems, variational inequalities and the nonnegative tensor theory

研究の動機と目的

• PおよびP₀行列のwell-establishedな概念を高次テンソルへ一般化すること。
• テンソルがPまたはP₀テンソルであるための必要十分条件を確立し、特に対称性と正（半）定値性の関連を明確にすること。
• B行列のクラスをBおよびB₀テンソルへ拡張し、テンソル分類のための効率的な検査可能性を可能にすること。
• P、P₀、B、B₀テンソルと最適化、非線形方程式、変分不等式の主要分野との関係を調査すること。
• Zテンソルと対角優勢性の関係を、B₀テンソルの文脈で考察すること。

提案手法

• 正（半）定値性条件を一般化することで、PおよびP₀行列の定義を対称テンソルへと拡張する。
• テンソル固有値および正値性基準を用いて、対称テンソルがP（P₀）テンソルであるための必要十分条件を証明する。
• P（P₀）テンソルの任意の主テンソルが、自身もP（P₀）テンソルであることを示し、構造的性質を保存することを保証する。
• BおよびB₀テンソルをB行列の拡張として導入し、成分ごとの不等式による定義を提示することで、検査可能性を向上させる。
• Zテンソルが対角優勢であるための必要十分条件として、それがB₀テンソルであることを利用し、対角成分の優勢性条件を用いる。
• 構造的および代数的性質を通じて、最適化、非線形補完性問題、非負テンソル理論ととの関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称テンソルがPまたはP₀テンソルに分類されるための条件は何か。また、正（半）定値性とはどのように関連するか。
• RQ2 PおよびP₀行列の構造的性質は、特に主テンソルに関して高次テンソルに保存されるか。
• RQ3 B行列の概念をテンソルへどのように一般化できるか。また、BおよびB₀テンソルを識別するための検査可能な基準は何か。
• RQ4 Zテンソルにおける対角優勢性とB₀テンソル性の関係は何か。
• RQ5 P、P₀、B、B₀テンソルは最適化、非線形補完性問題、非負テンソル理論とどのように関連するか。

主な発見

• 対称テンソルがPテンソルであるための必要十分条件は、それが正定値であることである。同様に、P₀テンソルであるための必要十分条件は、正半定値であることである。
• P（P₀）テンソルの任意の主テンソルは、自身もP（P₀）テンソルである。したがって、テンソル制限においてクラスが保存される。
• BおよびB₀テンソルのクラスは、明確に定義されており、成分ごとの不等式による検査が可能であり、効率的な識別が可能である。
• Zテンソルが対角優勢であるための必要十分条件として、それがB₀テンソルであることである。これにより、代数的等価性が確立される。
• 本稿では、P、P₀、B、B₀テンソルと非線形補完性問題や変分不等式といった主要な数学的問題との基礎的関係を確立した。
• 結果として、構造的および代数的性質を通じて、テンソルクラスと最適化、非負テンソル理論との理論的枠組みを提供した。