[論文レビュー] An integer valued bi-invariant metric on the group of contactomorphisms of R^2n x S^1

Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ 上のコンパクトに台を持つ接触同相群の部分群で、恒等写像にホモトープな元に対して、生成関数を用いてヴィテルボのシンプレクティック距離を拡張することで、整数値をとる双対不変距離を構成する。この距離は非有界であり、Bhupalの部分順序と整合する。これは、離散的なエネルギー値を持つ接触幾何における新しい剛性現象を示している。

ABSTRACT

In his 1992 article on generating functions Viterbo constructed a bi-invariant metric on the group of compactly supported Hamiltonian symplectomorphisms of R^2n. Using the set-up of arXiv:0901.3112 we extend the Viterbo metric to the group of compactly supported contactomorphisms of R^2n x S^1 isotopic to the identity. We also prove that the contactomorphism group is unbounded with respect to this metric.

研究の動機と目的

• 生成関数を用いて、$\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ 上の接触同相群に対してヴィテルボのシンプレクティック双対不変距離を拡張すること。
• 整数値をとる双対不変距離を、$\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1)$ 上に定義すること。
• この距離が非有界であることを証明し、群がこの幾何的構造において有界でないことを示すこと。
• 距離とBhupalの部分順序との整合性を確立し、正のホモトピーにおけるエネルギーの単調性を保証すること。
• 整数が接触剛性において果たす役割を明確にし、非コンパクトな接触多様体上に離散的距離を構成すること。

提案手法

• [S09] の生成関数フレームワークを適応し、$\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ の接触同相写像に対して不変量 $c^+$ と $c^-$ を定義する。
• 整数値をとる $c^+$ と $c^-$ 不変量を用いて、距離 $d(\phi, \psi) = \lceil c^+(\phi \circ \psi^{-1}) \rceil + \lceil c^+(\psi \circ \phi^{-1}) \rceil$ を構成する。
• コンパクトに台を持つ接触同相写像に対して $c^+$ は非負、$c^-$ は非正であるという事実を用いる。これは、台の外に点が存在することに依存する。
• 生成関数によって定義された接触容量 $c$ と距離のエネルギー・キャパシティ不等式を適用し、幾何的意味の有効性を保証する。
• 生成ハミルトニアンの成長を増加させることで、エネルギーが任意に大きな整数に達する接触同相写像の列を構成し、非有界性を証明する。
• 距離が離散的値をとることから、細かすぎる（fine）ものではなく、自明なノルムとは同値でないが、安定に非有界ではない（stably unbounded）ことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴィテルボのシンプレクティック双対不変距離は、$\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ の接触同相群へ拡張可能か？
• RQ2 このような拡張により、接触剛性の離散的性質を反映する整数値をとる距離が得られるか？
• RQ3 得られる距離は非有界であるか？ これは接触群における非自明な幾何的複雑性を示唆するか？
• RQ4 距離はBhupalの部分順序とどのように作用するか？ また、正のホモトピーにおけるエネルギーの単調性を保つのか？
• RQ5 なぜこの構成は1次元の場合（$n=0$）に失敗するのか？ 一般理論にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 群 $\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1)$ は、非有界な整数値をとる双対不変距離 $d$ を持つ。
• 距離 $d$ は生成関数を用いて構成され、$d(\phi, \psi) = \lceil c^+(\phi \psi^{-1}) \rceil + \lceil c^+(\psi \phi^{-1}) \rceil$ を満たす。ここで $c^+$ と $c^-$ は、リーマンジャンのリフトと生成関数を用いて定義される。
• 距離 $d$ はBhupalの部分順序 $\leq_B$ と整合するため、$(\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1), d)$ は部分的に順序付けられた距離空間である。
• 非負のハミルトニアンによって生成されるホモトピーに沿ってエネルギーは減少しない。これは $\leq_B$ との整合性の結果である。
• 生成関数のハミルトニアンの成長を増加させることで、接触同相写像の系列のエネルギーを任意に大きくできるため、距離は非有界である。
• 距離は安定に非有界ではない。すべての $\phi$ に対して $\lim_{n \to \infty} \frac{E(\phi^n)}{n} = 0$ であるが、距離は非有界である。