[論文レビュー] An intrinsic formulation of the rolling manifolds problem

Mauricio Godoy Molina, Erlend Grong+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2010

Mathematics and Applications参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、2つの$n$次元リーマン多様体の転がり多様体問題の内在的定式化を提示し、次元$ olimits\frac{n(n+3)}{2}$の配置空間を定義し、回転なし・滑りなしの条件をランク$n$の分布によって表現する。主な貢献は、$n$次元球面が$ olimits\mathbb{R}^n$上を転がる場合の可制御性の証明であり、27次元の配置空間の12次元の葉層構造により、$SE(3)$が$\mathfrak{se}(3)$上を転がる場合の非可制御性を示している。

ABSTRACT

We present an intrinsic formulation of the kinematic problem of two $n-$dimensional manifolds rolling one on another without twisting or slipping. We determine the configuration space of the system, which is an $\frac{n(n+3)}2-$dimensional manifold. The conditions of no-twisting and no-slipping are decoded by means of a distribution of rank $n$. We compare the intrinsic point of view versus the extrinsic one. We also show that the kinematic system of rolling the $n$-dimensional sphere over $\mathbb R^n$ is controllable. In contrast with this, we show that in the case of $SE(3)$ rolling over $\mathfrak{se}(3)$ the system is not controllable, since the configuration space of dimension 27 is foliated by submanifolds of dimension 12.

研究の動機と目的

• 外部埋め込みに依存しない、抽象的なリーマン多様体における滑りなし・ねじれなしの転がりの内在的微分幾何的定式化を構築すること。
• 配置空間を、既存の外在的アプローチを一般化する次元$\frac{n(n+3)}{2}$の多様体として定義すること。
• ねじれなし・滑りなしの制約を、配置空間上のランク$n$の分布を用いて特徴づけ、内在的解析を可能にすること。
• 内在的および外在的定式化を比較し、外在的空間に依存しない同じ運動制約を内在的アプローチが捉えていることを示すこと。

提案手法

• 配置空間は、2つの$n$次元多様体の積上のファイバー束として構成され、正規直交フレーム束からの構造を有する。
• 転がり運動は、この配置空間内での曲線として定義され、運動制約を表すランク$n$の分布に接するものである。
• 分布は、多様体の内在的幾何および法接続から導かれるベクトル場の局所的スパンとして明示的に構成される。
• 分布の括弧生成性はカルタンの基準を用いて分析され、システムの可制御性が決定される。
• 具体的なフレーム計算を用いて、2つの主要な例（$n$次元球面が$\mathbb{R}^n$上を転がる、および$SE(3)$が$\mathfrak{se}(3)$上を転がる）に理論を適用する。
• 滑らかさを絶対連続性に緩和しても、微分幾何的および制御理論的道具の適用が保たれることを含む分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑りなし・ねじれなしの転がり問題は、ユークリッド空間への埋め込みに依存せずに、内在的に定式化可能か？
• RQ2 $n$次元多様体の転がりにおける配置空間の正確な次元および幾何的構造は何か？
• RQ3 内在的および外在的定式化の関係は何か？また、埋め込みに依存しない情報は何かを共有しているか？
• RQ4 ねじれなし・滑りなしの条件によって定義される分布は括弧生成的か？そしてこれは可制御性に何を意味するか？
• RQ5 27次元の配置空間を持つにもかかわらず、$SE(3)$が$\mathfrak{se}(3)$上を転がるシステムはなぜ非可制御的なのか？

主な発見

• 2つの$n$次元多様体の転がりの配置空間は、$\frac{n(n+3)}{2}$次元の多様体であり、既知の結果を一般化する。
• ねじれなし・滑りなしの条件は、配置空間上のランク$n$の分布として定義され、運動制約を内在的に表現する。
• $n$次元球面が$\mathbb{R}^n$上を転がる場合、分布は括弧生成的であり、システムは可制御であることを示唆する。
• $SE(3)$が$\mathfrak{se}(3)$上を転がる場合、27次元の配置空間は12次元の部分多様体による葉層構造を持つため、非可制御である。
• 内在的定式化は、外在的定式化と同一の運動制約を捉えているが、埋め込みに依存しないため、問題の幾何的本質を明らかにする。