[論文レビュー] An intrinsic volume functional on almost complex 6-manifolds and nearly Kaehler geometry

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Jul 8, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非退化なニエンヒュイズテンソルをもつほぼ複素6次元多様体に対して、内在的な体積関数を定義し、その極値がちょうど近似ケーラー構造に一致することを証明する。また、このような多様体上の近似ケーラー計量はスケーリングを除いて一意的であり、計量のコーン上のG₂構造および完全反対称 torsion をもつ接続を用いた近似ケーラー幾何の特徴づけがなされる。

ABSTRACT

Let $(M,I)$ be an almost complex 6-manifold. The obstruction to integrability of almost complex structure (so-called Nijenhuis tensor) maps a 3-dimensional bundle to a 3-dimensional one. We say that Nijenhuis tensor is non-degenerate if it is an isomorphism. An almost complex manifold is called nearly Kaehler if it admits a Hermitian form $ω$ such that $ abla(ω)$ is totally antisymmetric, $ abla$ being the Levi-Civita connection. We show that a nearly Kaehler metric on a given almost complex 6-manifold with non-degenerate Nijenhuis tensor is unique (up to a constant). We interpret the nearly Kaehler property in terms of G_2-geometry and in terms of connections with totally antisymmetric torsion, obtaining a number of equivalent definitions. Further on, we construct an intrinsic diffeomorphism-invariant functional on the space of almost complex structures on $M$, similar to the Hitchin functional, and compute its extrema in the following important case. Consider an almost complex structure $I$ with non-degenerate Nijenhuis tensor, admitting a Hermitian connection with totally antisymmetric torsion. We show that the intrinsic volume functional has an extremum in $I$ if and only if $(M,I)$ is nearly Kaehler.

研究の動機と目的

• 6次元多様体上のほぼ複素構造の空間に、ヒッチンの関数に類似した微分同相変換不変体積関数を定義すること。
• 非退化なニエンヒュイズテンソルをもつほぼ複素構造の文脈において、この関数の臨界点を調査すること。
• 完全反対称 torsion をもつ接続を含む幾何的・解析的条件を通じて、6次元多様体上の近似ケーラー構造を特徴づけること。
• 非退化なニエンヒュイズテンソルをもつ6次元多様体上での近似ケーラー計量が、定数倍のスケーリングを除いて一意的であることを確立すること。
• リーマン計量のコーン上のG₂構造および torsion をもつヘルミート接続を通じて、近似ケーラー幾何の異なる定義を統一すること。

提案手法

• 内在的体積関数 $ \Psi(I) = \int_M \operatorname{Vol}_I $ を定義し、ここで $ \operatorname{Vol}_I $ はニエンヒュイズテンソルとその双対からの行列式から導かれる。
• ニエンヒュイズテンソルの非退化性を用いて、自然な3形式を介して $ \Lambda^{1,0}(M) \cong \Lambda^{2,0}(M) $ を特定し、テンソル的同定を可能にする。
• ほぼ複素構造の無限小変動理論を用い、パrameter $ \delta \in \Lambda^{0,1}(M) \otimes T^{1,0}(M) $ でパrameter化された変動を扱い、$ \Psi $ の第一変動を計算する。
• 第一変動の公式 $ \frac{d\Psi}{dI}(\delta) = 2\operatorname{Re} \int_M \overline{\partial}\delta \wedge \omega $ を導出する。ここで $ \omega $ はヘルミート形式である。
• 部分積分を用いて、$ \Psi $ が極値をとるための必要十分条件が $ \overline{\partial}\omega = 0 $、すなわち $ d\omega \in \Lambda^{3,0} \oplus \Lambda^{0,3} $ であることを示す。
• 近似ケーラー幾何と $ \nabla\omega $ が完全反対称であるという条件の間の同値性を確立し、これにより多様体のリーマン計量のコーン上のG₂構造と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化なニエンヒュイズテンソルをもつほぼ複素6次元多様体において、内在的体積関数 $ \Psi(I) = \int_M \operatorname{Vol}_I $ が極値をとるための条件は何か？
• RQ2 完全反対称 torsion をもつ接続およびヘルミート幾何の観点から、近似ケーラー条件はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 6次元多様体上の近似ケーラー構造と、そのリーマン計量のコーン上のG₂構造との関係は何か？
• RQ4 非退化なニエンヒュイズテンソルをもつ6次元多様体上での近似ケーラー計量は、ほぼ複素構造によって一意的に決定されるか？
• RQ5 完全反対称 torsion をもつヘルミート接続の存在が、ほぼ複素構造が近似ケーラーであることを示すために必要な条件は何か？

主な発見

• 内在的体積関数 $ \Psi(I) = \int_M \operatorname{Vol}_I $ がほぼ複素構造 $ I $ で極値をとるための必要十分条件は、$ d\omega \in \Lambda^{3,0}(M) \oplus \Lambda^{0,3}(M) $ である。ここで $ \omega $ はヘルミート形式である。
• 非退化なニエンヒュイズテンソルをもつほぼ複素6次元多様体が、完全反対称 torsion をもつヘルミート接続をもつための必要十分条件は、それが近似ケーラーであることである。
• 非退化なニエンヒュイズテンソルをもつこのような多様体上での近似ケーラー計量は、定数倍のスケーリングを除いて、ほぼ複素構造によって一意に決定される。
• 6次元多様体上の近似ケーラー構造は、その多様体のリーマン計量のコーン上のG₂構造と同値であり、幾何的特徴づけが与えられる。
• 近似ケーラー条件は、$ \nabla\omega $ が完全反対称であるという要件と同値であり、ここで $ \nabla $ はリーマン接続である。
• 体積関数の極値条件は、$ \overline{\partial}\omega $ の消滅と同値であり、ニエンヒュイズテンソルの非退化性の仮定のもとでは、これは近似ケーラー条件と同値である。