[論文レビュー] An introduction to higher dimensional local fields and adeles

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、高次元局所体およびアーベルの理論を包括的に導入し、基礎的理論、位相構造、ミルナーK理論を用いた類体論、およびスキームからの構成を確立する。高次元アーベル群が層コホモロジーを計算することを示し、古典的なアーベルの道具を高次元に一般化し、算術幾何学および双対性理論への応用をもたらす。

ABSTRACT

These notes are an introduction to higher dimensional local fields and higher dimensional adeles. As well as the foundational theory, we summarise the theory of topologies on higher dimensional local fields and higher dimensional local class field theory.

研究の動機と目的

• 算術幾何学の研究者を対象に、高次元局所体およびその位相構造の基礎的理論を体系化すること。
• 完全フラッグを用いたスキームからの高次元アーベル環の構成を明確化すること。
• ミルナーK理論と制限積を用いた高次元類体論の要約。
• アーベル群がスキーム上の準正則層のコホモロジーをどのように計算するかを説明すること。これは1次元の場合の一般化である。
• 高次元類体論およびアーベル的コホモロジーの先端的文献を扱える自己完結型の参考文献を提供すること。

提案手法

• 本稿は、スキーム上の完全フラッグである既約閉部分スキームの列から、反復的完備化と局所化を用いて高次元局所体を構成する。
• 高次元アーベルは、各フラッグレベルにおける局所体の制限積として定義され、収束を保証するための有限性条件を含む。
• 理論は、アーベル拡大と再帰写像を結ぶミルナーK理論を用いて高次元類体論を定式化する。
• 高次元局所体上の位相は、逐次的飽和およびInd-Pro手法を用いて開発され、不十分な離散付値位相に代わるものである。
• コホモロジー計算は、アーベル群間の対角埋め込みと境界写像の可換図式を介して確立される。
• （例：ほとんどすべてのxに対してf ∈ O_x + p^r_{x,y}）有限性条件の明示的検証により、アーベル群が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全フラッグを用いた部分スキームの列から、スキームから高次元局所体を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 ハーモニック解析と類体論を支えるために、高次元局所体に適切な位相は何か？
• RQ3 ミルナーK理論を用いた場合、高次元類体論は1次元の場合をどのように一般化するか？
• RQ4 高次元アーベル群は、算術的および代数的曲面における層のコホモロジーをどのように計算するか？
• RQ5 制限積と対角埋め込みは、コホモロジーを計算するアーベル的複体を構成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 高次元局所体は次元と残留体構造によって分類され、局所体がローラン級数またはp進体であるという分類の一般化である。
• アーベル群の構成により、そのコホモロジーが自然にH*(X, O_X)に同型である複体が得られ、古典的なアーベル的分解を高次元に拡張する。
• 高次元局所体上の位相は逐次的飽和およびInd-Pro手法により定義され、K理論およびハーモニック解析と整合性を持つ。
• ミルナーK理論は、高次元類体論の代数的基盤を提供し、再帰写像がアーベル拡大とK理論類を結ぶ。
• アーベルの制限積構造により、すべてのフラッグにおいて有限性条件を満たす要素が保証され、アーベル群が適切に定義され、コホモロジカルに有効である。
• アーベル群間の対角埋め込みと境界写像の図式は、コホモロジーを計算する複体をなしており、各写像の有限性条件が明示的に検証されている。