[論文レビュー] Representations of Higher Adelic Groups and Arithmetic

A. N. Parshin|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

advanced mathematical theories参考文献 58被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、次元 ≥2 のスキームへ一般化された古典的クラス体論および表現論を扱う、高次元アーベル的枠組みを構築する。高次局所体上の離散ヘイゼンベルク群およびアーベル的積を構成することにより、数体と関数体の間の類似性を確立し、キリロフの軌道法を拡張することで、グローバルな算術的・幾何的対象に対する新しいコhomオロジカルおよび表現論的道具を可能にする。

ABSTRACT

We discuss the following topics: n-dimensional local fields and adelic groups; harmonic analysis on local fields and adelic groups for two-dimensional schemes (function spaces, Fourier transform, Poisson formula); representations of discrete Heisenberg groups; adelic Heisenberg groups and their representations arising from two-dimensional schemes.

研究の動機と目的

• アーベル的構造を用いて、古典的クラス体論および表現論を高次元スキームへ拡張すること。
• 特に高次元の局所体を通じて、代数曲線上の数体と関数体の深い類似性を確立すること。
• 代数的表面から生じる離散冪零群の表現論的枠組みを構築し、キリロフの軌道法を一般化すること。
• アーベル的積の理論を、リーマン・ホッジ理論やチャーン類、Lefschetzの公式といったコホモロジカルおよび幾何的道具と統合すること。
• 自動形式およびヘッケ理論を、GL(n,𝔸_X) が表面に対して定義されるような高次元アーベル的群へ拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• 高次元における p-進および関数体局所化の類似として、高次局所体（例：ℚ_p, ℝ((t)), ℂ((t))) を構成する。
• 代数的表面のコホモロジカルデータから生じる、表面におけるアーベル的群の基本的構成要素としての離散ヘイゼンベルク群を導入する。
• 局所ヘイゼンベルク群の帰納的極限へのアーベル的積構成を適用し、1次元局所体上の再帰的群論を一般化する。
• 不定型二次形式に対するシーゲルのゼータ関数を用いて、非退化形式を持つ群上の表現を扱う。
• 留数定理およびコホモロジカル解体を用いて、古典的コーシュの問題に類似したグローバル条件（例：∑res_P(η) = 0）を定義する。
• 関手的双対軌道およびプランシュレ型定理を、軌道のモジュライ空間上の関数空間を用いて、離散冪零群へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数論における古典的相互作用法則およびノーム留数記号は、どのように高次元算術的スキームへ一般化可能か？
• RQ2 高次局所体（例：ℝ((t)), ℂ((t))) は、数論と代数幾何学を統合する役割を果たすか？
• RQ3 キリロフの軌道法は、代数的表面から生じる有限生成および無限生成冪零群へ拡張可能か？
• RQ4 GL(2,𝔸_X) のような群に対して、どのようにアーベル的表現を構成できるか？
• RQ5 コホモロジカル留数複体の構造は何か？ また、高次元スキーム上の整合的層へのLefschetzの公式とどのように関係するか？

主な発見

• リーマン面におけるコーシュ問題のグローバル可解性は、有理型微分形式の留数の和が消えることと同値であり、アーベル的コホモロジーを用いて高次元へ一般化される。
• ヒルベルト記号に関する積の公式 ∏_p(a,b)_p = 1 は、高次元スキーム上でのグローバル留数関係 ∑_P res_P(η) = 0 の特別な場合であることが示された。
• 表面における2階の離散ヘイゼンベルク群が構成され、局所積の帰納的極限を通じて、高次アーベル的群の構成要素を形成する。
• これらの群の表現論は、シーゲルのゼータ関数を用いて拡張され、L²空間上の冪零群におけるプランシュレ型分解が可能になる。
• 本理論により、クラス体論および自動形式を、GL(n,𝔸_X) が表面に対して定義されるような高次元アーベル的群へ拡張するための枠組みが提供される。
• 高次元における制限付きアーベル的複体およびチャーン類を用いて、クリチェーヴァー対応の一般化が確立された。