[論文レビュー] An introduction to motivic zeta functions of motives

Yves André|ArXiv.org|Dec 19, 2008

advanced mathematical theories参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、モチーフの哲学に従い、フェルミオン振幅における周期と多重ゼータ値を研究するための道具として、モチーフ的ゼータ関数を導入する。素数を法とする点数の多項式的挙動を分析することにより、算術幾何学と量子場理論を結びつける。ハッセ＝ヴァイルゼータ関数とモチーフ的L関数を通じて、周期が多重ゼータ値であるかどうかをテストするモチーフ的枠組みを提供する。

ABSTRACT

It oftens occurs that Taylor coefficients of (dimensionally regularized) Feynman amplitudes $I$ with rational parameters, expanded at an integral dimension $D= D_0$, are not only periods (Belkale, Brosnan, Bogner, Weinzierl) but actually multiple zeta values (Broadhurst, Kreimer). In order to determine, at least heuristically, whether this is the case in concrete instances, the philosophy of motives - more specifically, the theory of mixed Tate motives - suggests an arithmetic approach (Kontsevich): counting points of algebraic varieties related to $I$ modulo sufficiently many primes $p$ and checking that the number of points varies polynomially in $p$. On the other hand, Kapranov has introduced a new "zeta function", the role of which is precisely to "interpolate" between zeta functions of reductions modulo different primes $p$. In this survey, we outline this circle of ideas and some of their recent developments.

研究の動機と目的

• フェルミオン振幅の周期が多重ゼータ値であるかどうかを分析するためのモチーフ的枠組みを確立すること。
• 素数を法とする代数的多様体の算術と、周期および多重ゼータ値の構造を結びつけること。
• 異なる素数を法とした還元のハッセ＝ヴァイルゼータ関数の間を補間するモチーフ的ゼータ関数を構築すること。
• 点数の数え上げ技術を用いて、フェルミオン振幅の文脈でグローテンディークの予想とテートの予想をテストすること。
• 曲線上のG- torsorのモジュライスタックにおけるモチーフ的L関数と特殊値を調査すること。

提案手法

• モチーフ的アプローチを用い、特にベッチコホロロジーとド・ラームコホロロジーを通じて、Q 上に定義された代数的多様体の周期を、そのコホロロジー実現により研究する。
• モチーブの哲学を適用し、周期をコホロロジー理論間の標準的同型の成分として扱うことで、フェルミオン積分と代数幾何学を結びつける。
• 素数 p を法とする点数の数え上げを用い、有理点の数 N_p が p に関して多項式的であるかどうかをテストすることで、周期が多重ゼータ値であるかどうかを判定する。
• 異なる素数を法とした還元のハッセ＝ヴァイルゼータ関数の間を補間するモチーフ的ゼータ関数 Z_mot(X, t) を導入する。
• 群の作用によるモチーフに対して、モチーフ的L関数 L_mot(X, χ, t) を導出し、有限体上でのアーティンL関数への特殊化を示す。
• K_0(M(k)) におけるブルア・分解と類型公式を用い、半単純群およびその分類スタックのモチーフ的類を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数を法とする点数の算術が、フェルミオン振幅の周期が多重ゼータ値であるかどうかを決定できるか？
• RQ2 モチーフ的ゼータ関数が、異なる素数を法とした還元のハッセ＝ヴァイルゼータ関数の間をどの程度補間するか？
• RQ3 モチーフのモチーフ的L関数は、有限体上の古典的L関数とどのように関係するか？
• RQ4 曲線上のG- torsorのモジュライスタックの類のモチーフ的解釈は何か？
• RQ5 予想される式 [Bun_{G,X}] = [Q((1−g)dim G)] ∏ Z_mot(X, [Q(d_i)]) は一般に成り立つか？

主な発見

• 有理点の数 N_p が p に関して多項式的でない場合、グローテンディークの予想とテートの予想のもとでは、対応する多様体の周期は多重ゼータ値にはなり得ない。
• モチーフ的ゼータ関数 Z_mot(X, t) は有理関数であり、極は t = 1 および t = [Q(1)] のみであり、臨界点における明確な特殊値が定義可能である。
• X = P^1 および任意の simply connected 半単純群 G に対して、[Bun_{G,X}] = [Q((1−g)dim G)] ∏ Z_mot(X, [Q(d_i)]) の予想は、条件なしに成立する。
• G = SL_n および任意の滑らかで射影的な曲線 X に対して、同じ予想が証明され、G- torsor のモジュライスタックの類に対するモチーフ的公式が得られる。
• この公式は既知の結果に特殊化される：C 上では、アティヤ＝ボット理論により Bun_{G,X} のオイラー標数が得られる。F_q 上では、タマガワ数の公式により k-有理点の数が得られる。
• 半単純群 G のモチーフ的類は、[G] = L^{dim G} ∏_{i=1}^r (1 − L^{-d_i}) と表され、K_0(M(k))[L^{-1}] 内で、d_i は基本的ウェイリ不変量の次数である。