[論文レビュー] An introduction to the categorical p-adic Langlands program

Matthew Emerton, Toby Gee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2022

advanced mathematical theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進Langlandsプログラムにおけるカテゴリカルアプローチを導入し、$(\varphi,\Gamma)$-加群のモジュライスタックと導来代数幾何学を用いて、バナッハ型および解析的設定を統一する。安定$\infty$-圏と導来表現スタックを通じて、$p$-進ガロア表現と自動形式の間の枠組みを確立し、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$における主要な結果およびShimura多様体のコホモロジーへのグローバル応用を含む。

ABSTRACT

We give an introduction to the "categorical" approach to the p-adic Langlands program, in both the "Banach" and "analytic" settings.

研究の動機と目的

• バナッハ型および解析的設定を統一する$p$-進Langlands対応のカテゴリカル枠組みを構築すること。
• Taylor–Wilesのピッチング法を$p$-進Hodge理論における導来的およびカテゴリカル的構造へ拡張すること。
• 安定$\infty$-圏と導来モジュライスタックを通じて、ガロア表現と自動形式を関連付けること。
• グローバルカテゴリカルLanglands関手と固有値多様体を用いて、Shimura多様体のコホモロジーを計算すること。
• 導来表現スタックの余接複体を通じて、群コホモロジーの導来的解釈を確立すること。

提案手法

• $p$-進解析的設定におけるRobba環上およびバナッハ代数上の$(\varphi,\Gamma)$-加群のモジュライスタックを構成する。
• ガロア群の単体的解体を用いて、余接複体$\mathbf{L}_{\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}},\rho} = C^{\bullet}(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho)^*[-1]$を有する導来表現スタック$\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$を定義する。
• 導来代数幾何学を用いて、群コホモロジーを導来接空間および準滑らかさの観点から解釈する。
• 安定$\infty$-圏とインダルジブラックスタック上のインダコherent層を用いて、カテゴリカル対応を形式化する。
• モリタ理論および形式スタック上のプロコherent層を用いて、ヘッケ代数とグローバル自動形式を関連付ける。
• Fargues–Scholze予想および$C$-群構成を用いて、$\ell \neq p$のLanglandsパrameterを$p$-進対象と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\varphi,\Gamma)$-加群を用いた導来的・カテゴリカル的枠組みにおいて、$p$-進Langlands対応をどのように再定式化できるか。
• RQ2 ガロア表現のモジュライスタックの導来的構造は何か。また、群コホモロジーとどのように関係するか。
• RQ3 固有値多様体および収束$\ell$-進$p$-進自動形式は、カテゴリカルLanglands関手からどのように生じるか。
• RQ4 導来表現スタックは、$\mathrm{GL}_2$の局所およびグローバルLanglands対応をどのように表現するか。
• RQ5 グローバルLanglandsパrameterのモジュライスタックと導来層理論を用いて、Shimura多様体のコホモロジーをどのように計算できるか。

主な発見

• 導来表現スタック$\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$の余接複体は$\mathbf{L}_{\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}},\rho} = C^{\bullet}(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho)^*[-1]$であり、ガロアコホモロジーと導来幾何学を結びつける。
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$において、カテゴリカル$p$-進局所Langlands対応は、半直交分解および$(\varphi,\Gamma)$-加群の導来圏を通じて実現される。
• 群$\Gamma$について$H^i(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho) = 0$（$i > 2$）のとき、$\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$は$\rho$の近傍で準滑らかであり、局所的に導来完備交差構造を持つ。
• グローバルな状況では、$\mathrm{Sh}_{\mathrm{GL}_2, \mathbb{Q}, S}^{\mathrm{odd}}$のコホモロジーは、グローバルから局所への写像および収束$\ell$-進$p$-進自動形式の固有値多様体を用いて計算される。
• $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$の構造は、単体的解体$\Gamma_{\bullet}$の選び方に依存せず、$\infty$-圏的枠組みにおいてwell-definedであることが保証される。
• この枠組みにより、$p$-進Langlands対応がモジュライスタック上の層の安定$\infty$-圏間の関手として実現され、Fontaine–Mazur予想への応用が可能となる。