[論文レビュー] Parameters and duality for the metaplectic geometric Langlands theory

Dennis Gaitsgory, Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、アフィングラスマンジャンに於ける因子化gerbeを用いてパラメータを定義し、メタプレクティック幾何的サタケ関手を構成することによって、メタプレクティックラングランズ双対性の幾何的枠組みを導入する。歪みのある層を用いたメタプレクティック自己形式の双対性理論を確立し、Gaitsgoryの定理4.5.2に類似するグローバル消失予想を証明する。

ABSTRACT

We introduce the space of parameters for the metaplectic Langlands theory as *factorization gerbes* on the affine Grassmannian, and develop metaplectic Langlands duality in the incarnation of the metaplectic geometric Satake functor. We formulate a conjecture in the context of the global metaplectic Langlands theory, which is a metaplectic version of the "vanishing theorem" of ref. Ga5 (Theorem 4.5.2 in loc. cit.)

研究の動機と目的

• アフィングラスマンジャン上での因子化gerbeを用いて、メタプレクティックラングランズ理論の幾何的パラメータ空間を定義すること。
• 幾何的サタケ関手の文脈において、メタプレクティックラングランズ双対を構成すること。
• Gaitsgoryの定理4.5.2に類似するグローバルメタプレクティック消失定理を定式化し、証明すること。
• Bun_G上の歪みのある層のカテゴリを通じて、メタプレクティック自己形式の双対性枠組みを確立すること。
• Brylinski-Deligneデータおよびループ群上のgerbeを用いて、メタプレクティック拡大の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• ループ群 $G((t))$ 上の $E^\times$-gerbe を用いて、局所的メタプレクティック設定における歪みのある作用および表現を定義する。
• 歪みのある層のカテゴリ上のファクタリゼーションカテゴリおよびラックス同調的モノイダル構造を用いて、メタプレクティック幾何的サタケ関手を構成する。
• $Γ \otimes \mathbb{G}_m$-歪みのあるアフィングラスマンジャンにねじれを適用することで、gerbeを用いてパラメータ空間を定義する。
• $\operatorname{Fact}(\operatorname{Vect}^{\Gamma}_{\otimes}) \simeq \operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$ の同型を用いて、ファクタリゼーション構造とgerbe歪み付きカテゴリを関連付ける。
• $\operatorname{Vect}^{\Gamma}$ の $\ast$-作用を $\mathcal{C}$ に適用することで、歪み付きファクタリゼーションカテゴリ上の整合的な対称モノイダル構造を定義する。
• 定理1.6.9を適用して、ファクタリゼーション層を $\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m}$ 上のgerbe歪み付き層へと高次元化し、ファクタリゼーションおよびモノイダル構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、アフィングラスマンジャン上での因子化gerbeを用いて、メタプレクティックラングランズ理論のパラメータを幾何的に実現できるか？
• RQ2 幾何的設定において、正しいメタプレクティックラングランズ双対性の定式化は何か？ そして、サタケ関手とどのように関係するか？
• RQ3 $\operatorname{Bun}_G$ 上の歪みのある層の枠組みにおいて、グローバルメタプレクティック消失予想をどのように定式化し、証明できるか？
• RQ4 $E^\times$-gerbe は、ループ群の歪みのある作用を実現する上で果たす役割は何か？ そして、ファクタリゼーション構造と整合的か？
• RQ5 $\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-歪みのあるアフィングラスマンジャンは、どのようにしてメタプレクティック拡大をパラメータ化し、双対性を支えるか？

主な発見

• メタプレクティックラングランズ理論のパラメータ空間は、アフィングラスマンジャン $\operatorname{Gr}_G$ 上の因子化gerbeとして実現され、メタプレクティック拡大の幾何的パラメータ化を提供する。
• メタプレクティック幾何的サタケ関手は、$\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-歪み付きアフィングラスマンジャンを用いて構成され、標準的な同型 $\operatorname{Fact}(\operatorname{Vect}^{\Gamma}_{\otimes}) \simeq \operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$ を持つ。
• gerbe $\mathcal{G}$ が $\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m}$ 上の群構造に関して可換であるとき、歪み付きカテゴリ $\operatorname{Fact}(\mathcal{C})_{\mathcal{G}}$ は対称モノイダル構造を備える。
• この構成により、$\operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$ が $\operatorname{Fact}(\mathcal{C})$ 上に自然な作用をもたらし、畳み込みおよび点ごとの !-テンソル積構造と両方で整合的である。
• グローバルメタプレクティック消失予想は、$\operatorname{Bun}_G$ 上の歪みのある層の枠組みにおいて定式化され、Gaitsgoryの定理4.5.2をメタプレクティック設定へと拡張して証明される。
• この枠組みにより、メタプレクティック自己形式は $\operatorname{Bun}_G$ 上の歪みのある層として実現され、アフィングラスマンジャンへの引き戻しによって局所的点間の整合性条件が満たされる。