[論文レビュー] An l^{p}-Version of von Neumann Dimension for Representations of Equivalence Relations

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散的で測度を保つ、sofic同値関係の表現に対する $l^p$-ヴァン・ネウマン次元を導入し、古典的な $l^2$-次元枠組みを拡張する。同値写像で稠密な像を持つものについて不変性を確立し、$1 \leq p \leq 2$ のとき $L^p(\mathcal{R},\overline{\mu})^{\oplus n}$ の次元を計算し、有限提示のもとで第一の $l^2$-ベッチ数の $l^p$-類似を定義することで、コスト-$l^2$-ベッチ数予想を調べるための新しい道具を提供する。

ABSTRACT

In our previous paper, "l^{p}-Version of von Neumann Dimension for Banach Space Representations of Sofic Groups," we define an extended version of von Neumann dimension for actions of a sofic group on a Banach space. This dimension was studied especially for the translation action of G on l^{p}(G), as well as the multiplication on the non-commutative L^{p} space associated with the group von Neumann algebra. We discuss how one can similarly define an extended dimension for representations of an equivalence relation. We also define an analogue of l^{2}-Betti numbers for equivalence relations in the l^{p}-case, this may shed some light on the conjectured relation between cost and first l^{2}-Betti number.

研究の動機と目的

• 離散的で測度を保ち、soficな同値関係の $l^p$-表現について、$1 \leq p \leq 2$ の範囲でヴァン・ネウマン次元理論を拡張すること。
• 有限提示の仮定の下で、同値関係に対する第一の $l^2$-ベッチ数の $l^p$-類似を定義すること。
• この $l^p$-不変量と、コストと $l^2$-ベッチ数の間の等式（コスト = $\beta_1 + 1$）に関する予想との関係を調査すること。
• 稠密な像を持つ同値写像に関して、$l^p$-次元が不変であることを確立し、これにより表現の同型不変量となるようにすること。

提案手法

• 参考文献[13]の手法を適応し、sofic同値関係の $L^p$-表現に対する拡張されたヴァン・ネウマン次元を定義する。
• 直接積分分解と離散的ホッジ分解を用いて、グラフィング $\Phi$ に関連する $l^p$-コホモロジー空間 $H_1^{(p)}(\Phi)$ を分析する。
• sofic同値関係の $\Sigma$-次元理論を適用し、$\mathcal{R}$-加群に対して $\dim_{\Sigma,l^p}$ および $\underline{\dim}_{\Sigma,l^p}$ を定義する。
• 優越収束定理と測度論的推定を用いて、$\|\delta_{\Phi_x}\zeta_x^{(n)}\|_1$ の収束を制御し、非可換な設定で矛盾を導出する。
• $L^p(E(\Phi)) / B_1^{(p)}(\Phi)$ の構造と、その分解 $L^p(\mathcal{R}_A, \overline{\mu}) \oplus H_1^{(p)}(\Phi_0)$ を活用して、$c_1^{(p)}$ の下界を証明する。
• 任意の木構造 $\Phi$ に対して $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$ が $L^p(E(\Phi))$ に同型であるという事実を用いて、次元を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sofic同値関係の表現に対して、$l^2$-ケースを一般化する意味のある $l^p$-ヴァン・ネウマン次元を定義できるか？
• RQ2 この $l^p$-次元は、弱同型または稠密な像を持つ同値写像に関して不変のままであるか？
• RQ3 任意の $1 \leq p \leq 2$ に対して、$L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$ の $l^p$-次元は何か？
• RQ4 有限提示条件を満たす同値関係に対して、第一の $l^2$-ベッチ数の $l^p$-類似を定義できるか？
• RQ5 $l^p$-コホモロジー次元は、予想される恒等式 $\text{cost}(\mathcal{R}) = \beta_1^{(2)}(\mathcal{R}) + 1$ とどのように関係するか？

主な発見

• $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$ の $l^p$-次元は、$1 \leq p \leq 2$ のとき $n$ に等しく、古典的な $l^2$-次元結果を拡張する。
• 稠密な像を持つ同値写像に関して、$l^p$-次元は単調減少であり、したがって表現の同型不変量である。
• 自由作用 $\mathbb{F}_n$ の場合、$l^p$-コホモロジー次元 $c_1^{(p)}(\mathcal{R})$ は $n$ に等しく、任意のグラフィング $\Phi$ に対して $l^p$-ベッチ数 $\underline{\beta}_1^{(p)}(\Phi)$ は $n-1$ に等しく、$\Sigma$-次元の意味で等号が成り立つ。
• $\mathcal{R}$ が超有限的で無限大の軌道を持つならば、$c_1^{(p)}(\mathcal{R}) = 1$ であり、$\mathbb{Z}$-作用のケースと整合的である。
• 任意の sofic近似 $\Sigma$ に対して、任意のグラフィング $\Phi$ について不等式 $c_1^{(p)}(\mathcal{R}) \leq \beta_1^{(p)}(\Phi) + 1$ が成り立ち、これによりコホモロジー的上界が得られる。
• 任意の $\mathbb{F}_n$ のグラフィング $\Phi$ に対して、$l^p$-ベッチ数 $\underline{\beta}_1^{(p)}(\Phi)$ は少なくとも $n-1$ であり、$\Phi$ が木構造のとき $n-1$ に等しくなる。