[論文レビュー] An LP with Integrality Gap 1+epsilon for Multidimensional Knapsack

David Pritchard|arXiv (Cornell University)|May 18, 2010

Optimization and Packing Problems参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の固定された k および ϵ>0 に対して、整数性ギャップが 1+ϵ 未満である多項式サイズの線形計画法（LP）緩和を、k次元ナップサック問題に対して提示する。この成果は、高価値または高制約を持つアイテムを推測するフィルタリングと、結合的プログラミングを組み合わせることで達成され、分数解の近似的最適な丸め込みが可能となり、パッケージングケースにおいて費用に依存しないLP定式化に拡張可能である。

ABSTRACT

In this note we study packing or covering integer programs with at most k constraints, which are also known as k-dimensional knapsack problems. For any integer k > 0 and real epsilon > 0, we observe there is a polynomial-sized LP for the k-dimensional knapsack problem with integrality gap at most 1+epsilon. The variables may be unbounded or have arbitrary upper bounds. In the packing case, we can also remove the dependence of the LP on the cost-function, yielding a polyhedral approximation of the integer hull. This generalizes a recent result of Bienstock on the classical knapsack problem.

研究の動機と目的

• k次元ナップサック問題に対する、小さな有界な整数性ギャップを有する多項式サイズのLP緩和を構築すること。
• Bienstockの1次元ナップサック結果を高次元に一般化し、整数性ギャップを 1+ϵ に達成すること。
• パッケージングケースにおいて目的関数 c に依存しないLP緩和を構築し、整数凸包の多面体近似を可能にすること。
• 同様に費用に依存しないLPで小さな整数性ギャップを持つものが、カバレッジ版のk次元ナップサック問題に対して構築可能かどうかを検討すること。
• 分数解の近的最適丸め込みを可能にする、フィルタリングおよび結合的プログラミングを用いた理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 最適解に含まれる γ 個の最も利益の高いアイテム（または各制約あたりの係数が最大のアイテム）を推測するためのフィルタリング技術を用いる。ここで γ = k/ϵ である。
• 各推測 g に対して、推測されたアイテムが含まれるように制約を変更した部分問題 d^g および右辺 b^g を定義する。
• すべての部分問題緩和を組み合わせることで、追加の変数と制約を含む、1つの拡張LPとして結合的プログラムを構築する。
• 拡張LPが多項式サイズであることを保証する：費用依存ケースでは、n^{O(k/ϵ)} 個の変数および kn^{O(k/ϵ)} 個の制約を有する。
• 費用に依存しないケースでは、利益ベースのフィルタリングを制約ベースのフィルタリングに置き換え、k次元すべてにおいて係数が最大の γ 個のアイテムを推測する。
• 丸め込み：パッケージングケースでは分数解を切り下げ、カバレッジケースでは切り上げる。各制約ごとに小さなコストのアイテム集合を削除することで、不実行性を是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固定された k および ϵ>0 に対して、k次元ナップサック問題に対して整数性ギャップが 1+ϵ である多項式サイズのLP緩和を構築可能か？
• RQ2 このようなLPをパッケージングケースにおいて目的関数 c に依存しない形にできるか？ これにより整数凸包の多面体近似が可能か？
• RQ3 費用に依存しないLP構成をk次元ナップサック問題のカバレッジ版に拡張可能か？
• RQ4 c に依存しない構成を削除する際の、LPサイズと整数性ギャップのトレードオフは何か？
• RQ5 フィルタリングおよび結合的プログラミングのアプローチを用いて、高次元においてコン act LP定式化で (1+ϵ)-近似を得られるか？

主な発見

• 任意の固定された k および ϵ>0 に対して、k次元ナップサック問題に対して整数性ギャップが 1+ϵ 未満である多項式サイズの拡張LP緩和が存在する。
• 目的関数 c を使用した構築では、LPのサイズは n^{O(k/ϵ)} 個の変数および kn^{O(k/ϵ)} 個の制約を有する。
• パッケージングケースでは、費用に依存しないLP緩和が整数性ギャップ 1+ϵ で構築可能であり、その代償としてサイズが kn^{O(k²/ϵ)} 個の変数および制約にまで増加する。
• 構成は、係数が制約あたり最大の γ = k²/ϵ 個のアイテムを推測することに依存しており、これによりコスト損失が有界な丸め込みが可能になる。
• LPからの分数解を切り下げ（パッケージング）または切り上げ（カバレッジ）することで、最適解の (1−ϵ) または (1+ϵ) 倍以内の整数解が得られる。
• この結果は、Bienstockの1次元ナップサック結果を高次元に一般化し、パッケージングケースにおいて整数凸包の多面体近似を提供する。