[論文レビュー] An obstruction to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics

Julius Ross, Richard Thomas|ArXiv.org|Dec 29, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、部分多様体に基づくスロープ半安定性条件を定義することにより、極小複素多様体上に定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量が存在しないことの新たな障害を提示する。cscK計量が存在するならば、その多様体のスロープは任意の部分多様体のそれ以上でなければならないことを証明する。この障害は、デル・ペッツォ表面、射影バンドル、および blown-up 多様体に適用され、自明な自己同型群を持つにもかかわらずcscK計量をもたないケーラー類の明示的例を提供する。

ABSTRACT

We prove that polarised manifolds that admit a constant scalar curvature Kähler (cscK) metric satisfy a condition we call slope semistability. That is, we define the slope $μ$ for a projective manifold and for each of its subschemes, and show that if $X$ is cscK then $μ(Z)\leμ(X)$ for all subschemes $Z$. This gives many examples of manifolds with Kähler classes which do not admit cscK metrics, such as del Pezzo surfaces and projective bundles. If $\PP(E) o B$ is a projective bundle which admits a cscK metric in a rational Kähler class with sufficiently small fibres, then $E$ is a slope semistable bundle (and $B$ is a slope semistable polarised manifold). The same is true for \emph{all} rational Kähler classes if the base $B$ is a curve. We also show that the slope inequality holds automatically for smooth curves, canonically polarised and Calabi Yau manifolds, and manifolds with $c_1(X)<0$ and $L$ close to the canonical polarisation.

研究の動機と目的

• 極小複素多様体上に定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量が存在するための新しい代数的障害を確立すること。
• 多様体の部分多様体に対してスロープ不変量を定義し、cscK計量がスロープ半安定性を意味することを示すこと。
• 特にデル・ペッツォ表面や射影バンドルにおけるケーラー類—自明な自己同型群を持つにもかかわらず—cscK計量をもたない明示的例を提供すること。
• 幾何学的および代数的手段を通じて、K-安定性とcscK計量との関係を理解を拡張すること。

提案手法

• 部分多様体 Z に対して、X における Z での吹き上げの交線論を用いて、極小多様体 (X,L) におけるスロープ μ(Z) を定義する。
• Seshadri 定数 ε(Z,L) に関連するパrameter c に依存する修正スロープ μ_c(O_Z, L) を導入し、L が Z の近傍でどれほど正であるかを測る。
• 吹き上げ上の漸近的 Riemann-Roch 展開と交線公式を用いて、スロープの不安定化のための基準を導出する。
• スロープ不等式 μ_c(O_Z, L) < μ(X,L) を用いて、K-半安定性およびしたがってcscK計量の存在に対する障害を検出する。
• 射影バンドル、P² の blown-up、およびデル・ペッツォ表面などの特定のケースを分析し、障害が実際にどのように働くかを示す。
• 標準的および反標準的極小化に関する既知の結果を活用し、特に特殊な場合におけるスロープ条件の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cscK計量をもつすべての極小多様体は、部分多様体を用いて定義されたスロープ半安定性条件を満たすか？
• RQ2 スロープ半安定性は、カルビ・フタキ不変量が消えるケーラー類において、cscK計量の存在を妨げるのを防げるか？
• RQ3 射影バンドル P(E) → B に対して、E および B にどのような条件下でスロープ半安定性が cscK計量の存在を意味するか？
• RQ4 自明な自己同型群を持つ曲面上のケーラー類で、cscK計量をもたない明示的例は存在するか？ そしてスロープ半安定性はそれらを検出できるか？
• RQ5 スロープ半安定性は、K-安定性やケーラー＝アインシュタイン計量の存在といった既知の障害を回復または拡張するか？

主な発見

• 本稿では、極小多様体 (X,L) がcscK計量をもつならば、すべての部分多様体 Z に対して μ(Z) ≤ μ(X) が成り立つ、いわゆるスロープ半安定性を満たす必要があることを証明している。
• 射影バンドル P(E) → B に対して、有理数的ケーラー類で十分に小さなファイバーを持つ場合にcscK計量が存在するならば、E はスロープ半安定でなければならない。B が曲線である場合には、すべての有理数的クラスで同様の結果が成り立つ。
• 滑らかな曲線、標準的極小化多様体、カルラ・ヤウ多様体、および c₁(X) < 0 で L が標準的類に近い場合、スロープ不等式は自動的に成り立つ。
• 自明な自己同型群を持つが cscK計量をもたない多様体の明示的例が構成され、例えば特定の極小化のもとで P² を4点以上 blown up した場合が含まれる。
• 点での blown-up された Pⁿ は、例外的除集合が大きい極小化のもとでスロープ不安定であり、このような場合に障害が生じることを示している。
• デル・ペッツォ表面における -2 曲線は、特定の極小化のもとで多様体を不安定化させ、明確な障害例を提供している。