[論文レビュー] Analogies between analysis on foliated spaces and arithmetic geometry

Christopher Deninger|ArXiv.org|Sep 18, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、foliated多様体の解析的コホロジーと、Spec ℤ 上のスキームの算術ゼータ関数の間の深いつながりを提案し、特に稠密な葉を持つfoliated空間上の力学系が、算術スキームの欠落しているコホロジー理論をモデル化できることを示唆している。主な貢献は、foliatedフローにおける閉じた軌道と算術幾何における閉じた点を結ぶ辞書の構築であり、移行作用素のスペクトル的トレースが、解析的数論における明示的公式に類似している。

ABSTRACT

We point out analogies between (a) the explicit formulas in analytic number theory and transversal index theory, (b) Lichtenbaum's recent conjectures on special values of Hasse-Weil zeta functions and a formula for special values of Ruelle zeta functions, (c) work of Cramer on the zeroes of the Riemann zeta function and a result of Chazarain on the trace of a wave operator. These analogies suggest certain problems in the analysis on foliated spaces. The paper is mostly a review of previous work but the ideas concerning (c) are new.

研究の動機と目的

• foliated多様体の解析的コホロジーと、Spec ℤ 上の算術スキームの予想されるコホロジーの間の概念的ブリッジを確立すること。
• ハッセ＝ヴェイユゼータ関数などの算術幾何におけるゼータ関数の構造が、foliatedフローの力学にどのように反映されるかを説明すること。
• 特定のfoliated力学系の縮小された葉方向コホロジーが、算術ゼータ関数の欠落しているコホロロジー的枠組みを実現することを提案すること。
• 解析的数論における明示的公式と、foliated空間上の横断的インデックス定理およびスペクトル不変量を結びつけること。
• チエガー＝ミュラーの定理を用いて、リヒテンバウムのゼータ関数の特殊値に関する予想の力学的類似を構築すること。

提案手法

• スキーム over $\mathbb{F}_p$ 上のフロベニウス自己準同型から生じる微分同相 $\varphi$ を持つ力学系 $(M, \varphi)$ から、$X = M \times_{p^\mathbb{Z}} \mathbb{R}^*_+$ というfoliated空間を構成する。
• 空間 $X$ 上の ${\mathbb{R}}$-作用を、フロベニウスの ${\mathbb{Z}}$-作用のモデルとし、閉じた軌道が算術スキームの閉じた点に対応する。
• 特に $L^2$-コホロジー $\bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X)$ を用いたfoliation $\mathcal{F}$ の葉方向コホロジーを用い、算術スキームの予想されるコホロジーをモデル化する。
• チエガー＝ミュラーの定理を適用し、$L^2$-スペクトルデータから得られる解析的 torsion とリイデイスターリング torsion を等しくすることで、リヒテンバウムの特殊値予想の力学的類似を可能にする。
• フローの無限小生成子 $\theta$ の分布的トレース $\mathrm{tr}(e^{it|\theta|} \mid \bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X))$ を分析し、その特異性がゼータ関数の零点と一致することを示す。
• foliated多様体上の波動作用素のスペクトル分布を、リーマンゼータ関数の非自明な零点から導かれるクレーマー関数と比較し、共通する解析的構造を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術スキーム over $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ の欠落しているコホロロジー理論が、稠密な葉を持つfoliated力学系の縮小された葉方向コホロジーによって実現可能か。
• RQ2 解析的数論における明示的公式が、foliated多様体上の横断的インデックス定理に対応する程度はいかほどか。
• RQ3 チエガー＝ミュラーの定理を用いて、ハッセ＝ヴェイユゼータ関数の特殊値に関するリヒテンバウムの予想の力学的類似をどのように構築できるか。
• RQ4 foliated空間上での波動作用素のスペクトルトレースが、リーマンゼータ関数の非自明な零点の分布をどのようにモデル化するか。
• RQ5 foliated多様体上でのスペクトル分布の特異性が、無限遠点からの対数的項を含むゼータ関数の特異性を再現するか。

主な発見

• 稠密な葉を持つfoliated力学系の縮小された葉方向コホロジーは、位相的性質ではなく、解析的性質を示し、算術スキームのコホロジーが期待される性質と一致する。
• foliated空間 $X$ 上の ${\mathbb{R}}$-作用の閉じた軌道は、算術スキームの閉じた点と一対一に対応し、軌道長 $l(\gamma) = |\mathfrak{o}| \log p$ は $\log Nx$ と一致する。
• 分布的トレース $\mathrm{tr}(e^{it|\theta|} \mid \bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X))$ は $t = 0$ および $t = m \log p$ に特異性を示し、ゼータ零点から導かれるクレーマー関数の特異性と一致する。
• フローの無限小生成子 $\theta$ のスペクトルデータ、特にその固有値 $\gamma$ は純虚数であり、ゼータ関数の非自明な零点に対応する。
• リーマン多様体上での波動作用素のトレースの漸近展開に類似して、$\mathrm{tr}(e^{it|\theta|} \mid \bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X))$ のフーリエ変換は、無限遠点からの対数的項を示すと予想され、クレーマー理論と整合する。
• デュイステルマット＝ギヨームのトレース公式は、等長的でない場合にも拡張可能であり、フローに固定点がある場合でも、スペクトル分布を分析する強固な枠組みを示唆する。