[論文レビュー] Analogs of the Hamilton-Jacobi and Schrodinger Equations for Multidimensional Variational Problems of Field Theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2002

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲線空間における幾何的光学の類似性を用いて、複数の独立変数をもつ多次元場理論の変分微分方程式を定式化することにより、ハミルトン＝ヤコビ方程式およびシュレーディンガー方程式の類似形を導出する。主な貢献は、2次元時空におけるスカラー場ラグランジアンに対して明示的な形で導かれた、パラメータ化された曲線の空間における非線形1階ハミルトン＝ヤコビ型方程式と線形シュレーディンガー型方程式である。

ABSTRACT

Generalizations of the Hamilton-Jacobi and Schrodinger equations for multidimensional variational problems of field theory are deduced. These generalizations are so-called variational differential equations.

研究の動機と目的

• 複数の独立変数をもつ場理論における変分問題へのハミルトン＝ヤコビ方程式およびシュレーディンガー方程式の一般化を図ること。
• 光の伝播および極値経路をモデル化するため、パラメータ化された曲線の空間における幾何的光学の類似性を確立すること。
• 場理論的作用関数への類似変分微分方程式を、ハミルトン＝ヤコビ方程式に類似した形で導出すること。
• 変分微分を微分作用素に置き換えることで、量子的類似形式を構築し、シュレーディンガー型方程式を導出すること。
• 幾何的枠組みの一般化を通じて、任意の数の独立変数および従属変数へと形式を拡張すること。

提案手法

• R³内の曲線に沿った時間飛行関数 functional Φ(δx, δy, δz) を定式化し、曲線でパrameter化された媒質における光の伝播をモデル化する。
• 指標面（indicatrix）を、曲線の変異空間における Φ = 1 である超曲面として定義し、単位伝播時間を表す。
• 固定点 C₀ から曲線 C までの最小時間として作用 S(C) を定義し、幾何的光学におけるエイコナルに類似する。
• 無限小形でのホイヘンスの原理を適用し、δS/δx = c δΦ/δ(δx) などのように、S と Φ を結ぶ変分微分の恒等式を導出する。
• 変分微分 δS/δx, δS/δy, δS/δz をラグランジアン F 及び zₓ, zᵧ に関するその微分で表す。
• 連鎖律 ẋzₓ + ẏzᵧ = ż を用いて zₓ と zᵧ を消去し、正準量子化の代入により非線形1階方程式（ハミルトン＝ヤコビの類似）および線形2階方程式（シュレーディンガーの類似）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分原理を用いて、複数の独立変数をもつ場理論へのハミルトン＝ヤコビ方程式をどのように一般化できるか？
• RQ2 曲線空間における作用関数の幾何的解釈は何か？また、非自明な媒質における光の伝播とどのように関係するか？
• RQ3 正準量子化を用いて、多次元場理論の変分構造からシュレーディンガー型方程式を導出できるか？
• RQ4 エネルギー運動量テンソルの成分は、作用の変分微分にどのように自然に現れるか？
• RQ5 パラメータ化不変性は、導出された方程式において果たす役割は何か？また、変分形式主義でどのように保存されるか？

主な発見

• 本稿では、作用の変分微分から zₓ と zᵧ を消去することで、非線形1階変分微分方程式（ハミルトン＝ヤコビの類似）を導出する。
• ラグランジアン F = ½(zₓ² − zᵧ²) + p(z) の場合、ハミルトン＝ヤコビの類似は明示的な形で次のように表される: ½((δS/δz)² + ż²) + (ẋ² − ẏ²)p(z) + ẋ(δS/δy) + ẏ(δS/δx) = 0。
• δS/δx → −iδ/δx, δS/δy → −iδ/δy, δS/δz → −iδ/δz と置換することで、曲線空間における線形2階シュレーディンガー型方程式が得られる。
• 得られたシュレーディンガー方程式は: ½(−δ²Ψ/δz² + ż²Ψ) + (ẋ² − ẏ²)p(z)Ψ − i(ẋ δΨ/δy + ẏ δΨ/δx) = 0 であり、パラメータ化不変性に関する制約が存在する。
• 導出された方程式は、曲線の再パラメータ化に対して不変であり、制約 ẋ δΨ/δx + ẏ δΨ/δy + ż δΨ/δz = 0 によって反映される。
• この形式は、R^{m+n} 内の (m−1) 次元部分多様体を考察することで、m 個の独立変数および n 個の従属変数へと直接一般化可能である。