[論文レビュー] Analysis of a high order Trace Finite Element Method for PDEs on level set surfaces

Jörg Grande, Christoph Lehrenfeld+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、レベルセット関数に基づく等パラメトリック写像を用いて、暗黙的に定義された表面におけるPDEの解法のための高次トレース有限要素法を提示する。この手法は、最適な $H^1(/Gamma)$-ノルム誤差境界 $ frac{\mathcal{O}(h^{k+1})}$ を達成し、剛性行列の条件数を一様に有界に保つために法線微分体積安定化を導入している。

ABSTRACT

We present a new high order finite element method for the discretization of partial differential equations on stationary smooth surfaces which are implicitly described as the zero level of a level set function. The discretization is based on a trace finite element technique. The higher discretization accuracy is obtained by using an isoparametric mapping of the volume mesh, based on the level set function, as introduced in [C. Lehrenfeld, \emph{High order unfitted finite element methods on level set domains using isoparametric mappings}, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2016]. The resulting trace finite element method is easy to implement. We present an error analysis of this method and derive optimal order $H^1(Γ)$-norm error bounds. A second topic of this paper is a unified analysis of several stabilization methods for trace finite element methods. Only a stabilization method which is based on adding an anisotropic diffusion in the volume mesh is able to control the condition number of the stiffness matrix also for the case of higher order discretizations. Results of numerical experiments are included which confirm the theoretical findings on optimal order discretization errors and uniformly bounded condition numbers.

研究の動機と目的

• 滑らかな、暗黙的に定義された表面におけるPDEの解法のための高次有限要素法を開発すること。
• レベルセット表面における高次離散化の $H^1(\Gamma)$-ノルムにおける最適収束率を達成する課題に対処すること。
• トレースFEMの安定化手法を分析・比較し、高次設定における剛性行列の条件数に注目すること。
• 表面が背景メッシュを貫通する場合でも、法線微分体積安定化法が一様に有界な条件数を維持することを示すこと。
• 複雑な表面パラメトリゼーションを回避する、実用的で容易に実装可能な高次精度と頑健な条件数を併せ持つ手法を提供すること。

提案手法

• レベルセット関数を用いた背景体積メッシュの等パラメトリック写像を採用し、表面幾何の高次近似を達成する。
• 変換された背景メッシュ上に有限要素空間を構築し、トレース操作により解を表面に制限する。
• トレース有限要素法の定式化は、体積有限要素空間からの基底関数のトレースを用いたガラーキン離散化である。
• 高次設定における剛性行列の条件数を制御するため、新規の安定化手法「法線微分体積安定化」を導入する。
• ゴーストペナルティや全勾配体積安定化といった既存の安定化手法と比較可能な統一的枠組みを用いて分析する。
• 理論的分析には一貫性バインディングと誤差推定が含まれ、多項式拡張作用素とレベルセット関数の正則性仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次レベルセット近似のみを用いて、明示的な表面パラメトリゼーションを必要としない高次トレース有限要素法を構築可能か？
• RQ2 高次トレースFEM離散化において、特に表面が背景メッシュを貫通する場合に、一様に有界な条件数を保証する安定化手法は何か？
• RQ3 提案された等パラメトリック写像技術は、$k$ 次有限要素に対して最適な $H^1(\Gamma)$-ノルム誤差収束率 $ frac{\mathcal{O}(h^{k+1})}$ を達成するか？
• RQ4 法線微分体積安定化は、他の安定化手法と比較して、条件数と精度の面でどのように異なるか？
• RQ5 複雑な表面再構築やパラメトリゼーションを必要とせず、効率的に実装可能か？

主な発見

• 提案された高次トレースFEMは、補題9で証明され、数値実験によって裏付けられる、最適な $H^1(\Gamma)$-ノルム誤差境界 $ frac{\mathcal{O}(h^{k+1})}$ を達成する。
• 検討された手法の中で、法線微分体積安定化のみが、表面が背景メッシュを貫通する場合でも、高次離散化における一様に有界な条件数を保証する。
• この手法は、高次有限要素近似のレベルセット関数と標準的な有限要素アセンブリに依存するため、実装が容易である。
• 数値実験により、最適な収束率と一様に有界な条件数が確認され、理論的分析が妥当であることが裏付けられた。
• 等パラメトリック写像技術により、明示的な表面パラメトリゼーションや複雑な表面再構築を必要とせず、高次幾何近似が可能である。
• 解析により、区分的平面近似による幾何誤差が等パラメトリック写像によって制御され、最適収束率の達成に寄与することが示された。