[論文レビュー] Analysis of an Energy-based Atomistic/Continuum Coupling Approximation of a Vacancy in the 2D Triangular Lattice

Christoph Ortner, Alexander V. Shapeev|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2011

Graphene research and applications参考文献 23被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、有限範囲の対ポテンシャルを有する2次元三角格子における空孔をモデル化するためのエネルギーに基づく原子論的/連続体結合（a/c）法について、きめ細やかな事前誤差解析を提示する。この手法は欠陥の近傍で原子論的解像度を保ちつつ遠方領域では連続体モデルを採用し、メッシュサイズおよび解の滑らかさに依存するH¹ノルムおよびエネルギーにおける収束率を導く、一新された一貫性および安定性解析を用いる。実用的なヒューリスティクスを用いて、最適なメッシュおよび原子論的領域の設計が可能である。

ABSTRACT

We present a comprehensive a priori error analysis of a practical energy based atomistic/continuum coupling method (Shapeev, arXiv:1010.0512) in two dimensions, for finite-range pair-potential interactions, in the presence of vacancy defects. The majority of the work is devoted to the analysis of consistency and stability of the method. These yield a priori error estimates in the H1-norm and the energy, which depend on the mesh size and the "smoothness" of the atomistic solution in the continuum region. Based on these error estimates, we present heuristics for an optimal choice of the atomistic region and the finite element mesh, which yields convergence rates in terms of the number of degrees of freedom. The analytical predictions are supported by extensive numerical tests.

研究の動機と目的

• 2次元格子に空孔欠陥を有する実用的なエネルギーに基づく原子論的/連続体結合法について、包括的な事前誤差解析を提供すること。
• 原子論的-連続体界面におけるゴースト力の問題に、きめ細やかな一貫性および安定性解析を用いて対処すること。
• メッシュサイズおよび連続体領域における原子論的解の滑らかさに依存するH¹ノルムおよびエネルギーにおける誤差推定を導出すること。
• H¹ノルムおよびエネルギーにおける収束率を最適化するため、連続体領域における有限要素メッシュおよび原子論的領域のサイズの最適選択に関するヒューリスティクスを構築すること。

提案手法

• 本手法は、Shapeev (2010) が提唱したECC（エネルギーに基づく結合）定式化を採用し、周期的境界条件および対ポテンシャル相互作用を有する2次元三角格子に適応したものである。
• 連続体領域における原子論的解の正則性を定量化するため、新たな離散的滑らかさ指標が導入され、誤差推定に不可欠である。
• 局所的なリプシッツ推定および結合密度補題を用いて、ポテンシャル導関数の局所的リプシッツ性に基づく、離散的W⁻¹ᵖノルムにおける一貫性誤差の解析が行われる。
• 「空孔安定性インデックス」と呼ばれる指標を用いて安定性が確立され、欠陥を有する格子の安定性解析が、均質格子の安定性解析に還元される。
• 一貫性および安定性の推定を組み合わせることで、H¹ノルムおよびエネルギーにおける事前誤差境界が導出される。
• 誤差境界と自由度との関係を導くための数値的ヒューリスティクスが導出され、最適なメッシュおよび原子論的領域の設計を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元エネルギーに基づく原子論的/連続体結合法において、空孔欠陥に対して一貫性および安定性をどのようにきめ細やかに解析できるか。
• RQ2 事前誤差境界がメッシュサイズおよび連続体領域における原子論的解の滑らかさにどのように依存するか。
• RQ3 空孔安定性インデックスをどのように定義し、欠陥を有する格子の安定性解析を均質格子の安定性解析に還元するために用いるか。
• RQ4 連続体領域における有限要素メッシュおよび原子論的領域のサイズの最適選択に関するヒューリスティクスをどのように導出できるか。
• RQ5 解析的誤差推定が実際のシミュレーションにおける数値的収束挙動とどの程度一致するか。

主な発見

• 本稿では、メッシュサイズおよび連続体領域における原子論的解の滑らかさに依存するH¹ノルムおよびエネルギーにおける事前誤差推定が確立された。
• 新たな離散的滑らかさ指標が導入され、従来の研究に比べて技術的仮定を少なくして、より緊密な一貫性誤差推定が可能となった。
• 空孔安定性インデックスのおかげで、空孔を有する格子の安定性を、均質格子の安定性解析に還元して解析できるようになった。
• 局所的リプシッツ推定および結合密度補題を用いて、離散的W⁻¹ᵖノルムにおける一貫性誤差が評価され、その推定が得られた。
• 一貫性および安定性解析を統合することで、自由度の数に依存するH¹ノルムおよびエネルギーにおける収束率が得られ、最適なメッシュおよび原子論的領域設計のためのヒューリスティクスが導出された。
• 広範な数値的実験により、解析的予測が実際のシミュレーションとよく一致しており、理論的収束率と良好に一致した。