[論文レビュー] Analysis of Energy-Based Blended Quasicontinuum Approximations

Brian Van Koten, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

Microstructure and mechanical properties参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、原子論的モデルとカウチ＝ボーン連続体モデルをk原子の界面領域で滑らかに結合するブレンドドクォーシャンティックエネルギー（BQCE）法を提案する。この手法により、格子不安定性付近でのゴースト力が低減され、精度が向上する。1次元の最近接・第二近隣相互作用を有する鎖について、最適化されたブレンド関数を用いることで、ℓ²ひずみ誤差がk³ᐟ²倍、臨界ひずみ誤差がk²倍に低減され、き裂や不全の形成付近での精度が顕著に向上する。

ABSTRACT

The development of patch test consistent quasicontinuum energies for multi-dimensional crystalline solids modeled by many-body potentials remains a challenge. The original quasicontinuum energy (QCE) has been implemented for many-body potentials in two and three space dimensions, but it is not patch test consistent. We propose that by blending the atomistic and corresponding Cauchy-Born continuum models of QCE in an interfacial region with thickness of a small number $k$ of blended atoms, a general quasicontinuum energy (BQCE) can be developed with the potential to significantly improve the accuracy of QCE near lattice instabilities such as dislocation formation and motion. In this paper, we give an error analysis of the blended quasicontinuum energy (BQCE) for a periodic one-dimensional chain of atoms with next-nearest neighbor interactions. Our analysis includes the optimization of the blending function for an improved convergence rate. We show that the $\ell^2$ strain error for the non-blended QCE energy (QCE), which has low order $ ext{O}(ε^{1/2})$ where $ε$ is the atomistic length scale, can be reduced by a factor of $k^{3/2}$ for an optimized blending function where $k$ is the number of atoms in the blending region. The QCE energy has been further shown to suffer from a O$(1)$ error in the critical strain at which the lattice loses stability. We prove that the error in the critical strain of BQCE can be reduced by a factor of $k^2$ for an optimized blending function, thus demonstrating that the BQCE energy for an optimized blending function has the potential to give an accurate approximation of the deformation near lattice instabilities such as crack growth.

研究の動機と目的

• 多次元における多体ポテンシャルに対するエネルギーに基づくクォーシャンティックエネルギー法におけるパッチテスト整合性の欠如を解消すること。
• 不全やき裂の形成のような格子不安定性付近でのゴースト力の低減と精度の向上を図ること。
• エネルギーに基づく定式化を維持しつつ、収束性と安定性を向上させるブレンドドクォーシャンティックエネルギー（BQCE）を構築すること。
• 界面領域におけるブレンド関数を最適化し、ひずみおよび臨界ひずみの誤差を最小化するとともに収束率を最大化すること。

提案手法

• k原子の界面領域において、ブレンド関数を用いて原子論的エネルギーとカウチ＝ボーン連続体エネルギーを結合するブレンドドクォーシャンティックエネルギー（BQCE）を提案する。
• BQCEエネルギーを、原子論的エネルギーとカウチ＝ボーンエネルギーの凸結合として定義し、ブレンド関数を介して界面全域で1（原子論的）から0（連続体）へ滑らかに変化させる。
• 次近接相互作用を有する1次元周期的鎖を対象とし、変分的枠組みを用いてBQCE法を分析する。
• 原子論的スケールεとブレンド領域サイズkの観点から、ℓ²ひずみ誤差および臨界ひずみ誤差の事前誤差推定式を導出する。
• 誤差境界を最小化するようにブレンド関数を最適化し、収束率の向上を達成する。
• 安定性およびモデル化の推定を用いて、ヘッセ行列およびひずみの正則性に関する適切な条件下でBQCE最小化子の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多体ポテンシャルに対する原子論的から連続体への結合において、ゴースト力を低減し精度を向上させるブレンドドクォーシャンティックエネルギー（BQCE）を構築可能か？
• RQ2 ブレンド関数の選択が、BQCE法におけるℓ²ひずみ誤差の収束率にどのように影響するか？
• RQ3 最適化されたブレンド関数を用いたBQCEにおいて、非ブレンドQCEと比較して臨界ひずみ誤差は理論的にどの程度低減されるか？
• RQ4 標準的なQCEと比較して、BQCE法はき裂の成長や不全の運動のような格子不安定性付近でより高い精度を達成可能か？
• RQ5 有限範囲相互作用を有する多次元問題へのBQCEの1次元解析の一般化はどの程度可能か？

主な発見

• 非ブレンドQCE法におけるℓ²ひずみ誤差はO(ε¹ᐟ²)に比例するが、BQCE法で最適化されたブレンド関数を用いることで、k³ᐟ²倍に低減される。
• QCE法における臨界ひずみ誤差はO(1)であるが、最適化されたブレンド関数を用いたBQCE法ではk²倍に低減される。
• BQCE法の事前誤差推定では、ひずみ場の誤差がεおよびkを含む項で有界であることが示され、最適ブレンド関数が一次誤差項を最小化することが分かっている。
• 適切なヘッセ行列およびひずみ正則性の条件下で、BQCE法は局所的に一意な最小化子を有することが示され、数値的安定性が保証される。
• 理論的誤差境界から、BQCE法はき裂の伝播や不全ダイナミクスのような格子不安定性のシミュレーションにおいて顕著な精度向上が可能であると示唆される。
• 本分析は、BQCEを多次元問題に拡張する基盤を提供し、ベンチマークシミュレーションにおいて同様の誤差低減が期待される。