[論文レビュー] Analysis of parallel Schwarz algorithms for time-harmonic problems using block Toeplitz matrices. ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis

Alexander Kyriakis, Jennifer Pestana+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2021

Matrix Theory and Algorithms参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、時間調和ヘルムホルツ方程式およびマクスウェル方程式に対する、境界条件にロビン型を用いた1レベル並列シュワーツ法の収束性とスケーラビリティを、ブロックトーペリッツ行列を用いて分析している。吸収係数σ > 0の下で、連続的レベルにおいてストリップ型領域分割に対して弱スケーラビリティを達成することが証明されており、大規模な部分領域数Nに対して収束因子がNに依存しない。これは1次元および2次元問題の両方で成立する。

ABSTRACT

In this work we study the convergence properties of the one-level parallel Schwarz method with Robin transmission conditions applied to the one-dimensional and two-dimensional Helmholtz and Maxwell's equations. One-level methods are not scalable in general. However, it has recently been proven that when impedance transmission conditions are used in the case of the algorithm being applied to the equations with absorption, then, under certain assumptions, scalability can be achieved and no coarse space is required. We show here that this result is also true for the iterative version of the method at the continuous level for strip-wise decompositions into subdomains that are typically encountered when solving wave-guide problems. The convergence proof relies on the particular block Toeplitz structure of the global iteration matrix. Although non-Hermitian, we prove that its limiting spectrum has a near identical form to that of a Hermitian matrix of the same structure. We illustrate our results with numerical experiments.

研究の動機と目的

• 時間調和波問題に対するロビン境界条件を備えた1レベル並列シュワーツ法のスケーラビリティを調査すること。
• 特に連続的レベルにおいて、波動伝播の文脈におけるシュワーツ法の理論的分析が不足しているという点に取り組むこと。
• 1次元および2次元のヘルムホルツ方程式およびマクスウェル方程式において、ストリップ型領域分割に対して弱スケーラビリティ（部分領域数Nに依存しない収束速度）を確立すること。
• 吸収係数が存在する場合、粗空間を必要とせず、特定のパrameter条件を満たせばスケーラビリティが成立することを示すこと。
• 反復的シュワーツスキームから生じる非エルミート的ブロックトーペリッツ行列に対するスペクトル解析技術を拡張すること。

提案手法

• 連続的レベルの定式化を用いて、シュワーツ反復を界面データに作用するブロックトーペリッツ行列として形式化すること。
• N → ∞ の極限において、グローバル反復行列のスペクトルを解析し、非エルミート的ではあるが、ほぼエルミート的構造を示すことを証明すること。
• フーリエ解析およびスペクトル理論を用いて、多数の部分領域にわたる極限における収束挙動を特徴付けること。
• 文献[6]の反復行列形式を、吸収係数を有する波動方程式に適応したストリップ型領域分割に適用すること。
• 1次元問題では任意のσ > 0に対して収束を証明し、2次元問題ではσ、δ、Lに関する条件を満たす場合に収束を示すこと。
• 理論的知見を実用的 preconditioning に結びつけるために、1レベル最適化制限付き加法的シュワーツ（ORAS）法との関連を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロビン境界条件を備えた1レベルシュワーツ法は、粗空間を必要とせず、時間調和波問題において弱スケーラビリティを達成できるか？
• RQ2 ストリップ型領域分割におけるヘルムホルツ方程式およびマクスウェル方程式のシュワーツ反復行列の極限スペクトル挙動はいかなるものか？
• RQ3 吸収係数σ > 0が、連続的定式化における収束性とスケーラビリティに与える影響は何か？
• RQ4 どのような条件下で、この手法はk-ロバストとなり、領域分割パrameterの選択とどのように関係するか？
• RQ5 非エルミート的ブロックトーペリッツ行列のスペクトル解析を用いて、収束性およびスケーラビリティの結果を導出できるか？

主な発見

• 非エルミート的ではあるが、同じブロックトーペリッツ形式を持つエルミート行列とほぼ同一の構造を持つ、シュワーツ反復行列の極限スペクトルが得られた。
• 1次元問題では、任意のσ > 0に対して収束が成立し、十分に大きなNに対して収束因子がNに依存しなくなるため、弱スケーラビリティが成立することが示された。
• 2次元問題では、減衰モード（˜k > k）の場合、またはσ、δ、Lが十分に大きい場合にスケーラビリティが成立し、σ ≥ kのときには収束が保証される。
• 数値実験により、Nが一定値を超えるとGMRES反復回数が安定化し、Nおよび波数kに依存しなくなることが確認された（σ = 1の場合）。
• 吸収係数σが波数kに比例する場合、k-ロバスト性が達成され、先行研究の結果と整合的である。
• 理論的枠組みは、ORAS法のようなロバストなpreconditionerの設計を支援し、連続的および離散的レベルの両方での解析を可能にする。