[論文レビュー] Analysis of some generalized ABC- fractional logistic models

Thabet Abdeljawad, Mohamed Ali Hajji+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Caputo型分数マーチン・レフラー導関数における多パラメータ型Mittag-Leffler核を用いた一般化されたABC分数マーチン・ロジスティックモデルを導入し、その解析を行う。解の存在と一意性の定理を確立し、平衡点の摂動を用いた安定性解析を実施し、数値シミュレーションにより、γ や α が大きいほど平衡点への収束が速くなり、μ が大きいほど遅くなることが示された。また、γ や α が増加すると、初期段階で振動が生じることがわかった。

ABSTRACT

In this article, some logistic models in the settings of Caputo fractional operators with multi-parametered Mittag-Leffer kernels (ABC) are studied. This study mainly focuses on modified quadratic and cubic logistic models in the presence of a Caputo type fractional derivative. Existence and uniqueness theorems are proved and stability analysis is discussed by perturbing the equilibrium points. Numerical illustrative examples are discussed for the studied models.

研究の動機と目的

• 古典的ロジスティックモデルを、多パラメータ型Mittag-Leffler核を有する一般化されたABC分数導関数の枠組みへ拡張すること。
• この新しい分数マーチン・オペレータ下で、修正された二次および三次ロジスティック方程式の解の存在と一意性を調査すること。
• 摂動技術を用いて平衡点の安定性を分析すること。
• 分数パラメータ（α, μ, γ）が解軌道および収束ダイナミクスに与える影響を数値的に示すこと。

提案手法

• 多パラメータ型Mittag-Leffler核を有する一般化された左シフトABC分数導関数を用い、$ E^{ ho}_{ heta,eta}( heta, t) $ を含む積分を介して定義される。
• ABC導関数を逆転させるために、一般化されたAB分数積分オペレータを適用し、積分方程式による解表現を可能にする。
• 離散畳み込みおよび $ sum_{k=0}^{ inf} (h^{ heta k - u + 1} A_{k}^{ heta, u, ho}) ilde{r}^{m}_{k,j} $ を用いた再帰的係数計算に基づく数値スキームを採用する。
• 陰的数値スキーム：$ x_m = x_0 + sum_{j=0}^{m} ilde{c}^{m}_{j} f_j $、ここで $ f_j $ は段階jにおける非線形関数の評価値。
• 一般化されたABC導関数の性質：$ {}^{AB}I^{ heta, u, ho} {}^{ABC}D^{ heta, u, ho} u(t) = u(t) - u(t_0) $ を用いて、解の形を導出する。
• 固定パラメータ（r=0.5, K=2）を用いた数値シミュレーションを実施し、α, μ, γ, 初期条件 $ x_0 $ を変化させることで、収束および振動挙動を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたABC分数導関数におけるパラメータ α, μ, γ は、ロジスティックモデルの解の存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ2 一般化されたABC分数ロジスティックモデルにおける平衡点（x=0 および x=2）の安定性挙動はいかなるものか？
• RQ3 初期条件 $ x_0 $ は、安定平衡点への収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 パラメータ γ および α は、初期時間発展における解軌道の振動挙動を引き起こす役割を果たすか？
• RQ5 パラメータ μ は、解が平衡状態に収束するまでの時間にどのように影響するか？

主な発見

• すべての初期値 $ x_0 $ に対して、解軌道は平衡点 $ x_2 = 2 $ に漸近的に収束する。これは $ x_2 = 2 $ が漸近的に安定であり、$ x_1 = 0 $ が不安定であることを確認する。
• パラメータ $ \nu $ が小さいほど収束が速くなることが示され、$ \nu $ の値が小さいほど定常状態への到達が加速することがわかる。
• パラメータ $ \rho $ を 1.0 から 3.0 に増加させると、平衡状態に到達するまでの時間が短縮され、解軌道の初期段階で振動挙動が生じる。
• 分数マーチン・オーダー $ \alpha $ を 0.7 から 0.99 に増加させると、解が平衡状態に到達するまでの時間が短縮され、$ \alpha $ が大きいほど収束が速くなることが示された。
• 初期条件 $ x_0 $ が安定平衡点 $ x_2 = 2 $ に近いほど収束速度が高くなる。これは初期値に強く依存することを示している。
• パラメータ $ \rho $ または $ \alpha $ が増加すると、初期段階で振動挙動が観察される。これは、これらのパラメータの値が高くなると、収束に至るまでの過渡的振動を引き起こすことを示唆している。