[論文レビュー] Analytical ramifications of derivatives valuation: Asian options and special functions

Michael Schröder|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2002

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特殊関数論の拡張としてアジアオプションの価格付けを定式化することにより、アジアオプションの価格付けのための新しい解析的枠組みを開発する。複素解析的ラプラス逆変換を用いて、ブラック・ショールズ価格の単一積分表現を導出し、ヨールの三重積分を改善する。価格は、よく知られたヘルミート関数の積として表現され、初めて計算的に実行可能なベンチマーク価格付けを可能にする。

ABSTRACT

Averaging problems are ubiquitous in Finance with the valuation of the so-called Asian options on arithmetic averages as their most conspicuous form. There is an abundance of numerical work on them, and their stochastic structure has been extensively studied by Yor and his school. However, the analytical structure of these problems is largely unstudied. Our philosophy now is that such valuation problems should be considered as an extension of the theory of special functions: they lead to new problems about new classes of special functions which should be studied in terms of and using of the methods of special functions and their theory. This is exemplified by deriving integral representations for the Black-Scholes prices based on Yor's Laplace transform ansatz to their valuation. They are obtained by analytic Laplace inversion using complex analytic methods. The analysis ultimately rests on the gamma function which in this sense is found to be at the base of Asian options. The results improve on those of Yor and have served us a as starting point for deriving first time benchmark prices for these options.

研究の動機と目的

• ブラック・ショールズモデルにおけるアジアオプション価格の明示的解析的公式を導出するという長年の課題に取り組む。
• デリバティブ価格付けを、特にヘルミート関数および放物型シリンダ関数に注目した特殊関数論の拡張として再定式化する。
• ヨールの三重積分表現の計算不能性を克服し、より効率的な単一積分形式の代替を導出する。
• 複素解析および解析接続を用いて、アジアオプション価格付けの厳密な解析的基盤を確立する。
• 解析的逆変換技術に基づき、アジアオプションのための初めての計算的に実行可能なベンチマーク価格付け公式を提供する。

提案手法

• アジアオプション価格付けの出発点として、ヨールのラプラス変換アンサッツを用いる。
• ハンケルのガンマ関数の公式に裏付けられた、複素解析的ラプラス逆変換の複素逆変換公式を適用する。
• ケッラーの逐次超幾何関数を用いて定義される、負の次数のヘルミート関数（補完誤差関数の一般化）を用いる。
• リーマン優越収束定理を用いて、複素パrameter領域における積分の解析接続を正当化する。
• 大引数におけるヘルミート関数の漸近展開を用いて、複素平面上での減衰および可積分性を制御する。
• 被積分関数の主要化およびコンパクト集合上での一様有界性を用いて、得られた価格関数の正則性および連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラック・ショールズにおけるアジアオプションの価格は、ヨールの三重積分表現を改善する単一積分形式として表現可能か？
• RQ2 特にラプラス逆変換を用いた複素解析的手法は、デリバティブ価格付け問題の新たな閉形式表現を導出するためにどのように利用可能か？
• RQ3 負の次数のヘルミート関数は、アジアオプション価格付けの解析的構造において果たす役割は何か？
• RQ4 解析接続は、金融確率モデルにおけるラプラス逆変換結果の有効範囲をどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 得られた公式は、アジアオプションのための初めてのベンチマーク価格付け公式を導出可能か？

主な発見

• ヨールの三重積分を置き換える、ブラック・ショールズにおけるアジアオプション価格の新しい単一積分表現が導出され、計算可能性が著しく向上した。
• 価格公式は、負の次数のヘルミート関数の積を含む積分として表現される。
• この手法は、複素解析を用いた解析的ラプラス逆変換に依拠しており、ガンマ関数が導出の基盤をなす。
• 得られた関数は、整関数としての性質を示し、整数 ≤ −4 を除いて複素パrameter ν に対して正則であり、複素平面全体に解析接続可能である。
• ヘルミート関数の漸近的減衰率と指数因子を用いて、被積分関数を可積分関数で主要化し、収束性を保証する。
• この公式は、解析的根拠に基づき、計算的に実行可能なアジアオプション価格付けのベンチマークを初めて提供し、正確な数値評価と理論的分析を可能にする。