[論文レビュー] Anatomy of torsion in the CM case

Abbey Bourdon, Pete L. Clark+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次数 $ d $ の数体上のCM楕円曲線の最大ねじれ部分群サイズ $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ について、包括的な解析的研究を提供する。下位順序、典型順序、平均順序、および最大ねじれ部分群の分布を確立し、$ T_{\mathrm{CM}}(d) $ が $ d \log \log d $ のオーダーで増大することを示しており、最大ねじれ構造を達成する次数の正の密度を有することが判明した。

ABSTRACT

Let $T_{\mathrm{CM}}(d)$ denote the maximum size of a torsion subgroup of a CM elliptic curve over a degree $d$ number field. We initiate a systematic study of the asymptotic behavior of $T_{\mathrm{CM}}(d)$ as an "arithmetic function". Whereas a recent result of the last two authors computes the upper order of $T_{\mathrm{CM}}(d)$, here we determine the lower order, the typical order and the average order of $T_{\mathrm{CM}}(d)$ as well as study the number of isomorphism classes of groups $G$ of order $T_{\mathrm{CM}}(d)$ which arise as the torsion subgroup of a CM elliptic curve over a degree $d$ number field. To establish these analytic results we need to extend some prior algebraic results. Especially, if $E_{/F}$ is a CM elliptic curve over a degree $d$ number field, we show that $d$ is divisible by a certain function of $\# E(F)[\mathrm{tors}]$, and we give a complete characterization of all degrees $d$ such that every torsion subgroup of a CM elliptic curve defined over a degree $d$ number field already occurs over $\mathbb{Q}$.

研究の動機と目的

• 次数 $ d $ の数体上のCM楕円曲線の最大ねじれ部分群サイズ $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の漸近的挙動を体系的に分析すること。
• 算術的関数としての $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の下位順序、典型順序、平均順序を特定すること。
• すべてのCM楕円曲線のねじれ部分群が既に $ \mathbb{Q} $ 上に現れるような次数 $ d $ の集合を特徴づけること（「Olson次数」と呼ばれる）。
• 次数 $ d $ の数体上のCM楕円曲線のねじれ部分群として現れる、位数 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の同型類の数を調査すること。
• 数体の次数 $ d $ とその上で定義されたCM楕円曲線のねじれ部分群のサイズを結ぶ代数的整除性制約を拡張すること。

提案手法

• 整除条件の確立：$ E $ が次数 $ d $ の数体上のCM楕円曲線であるならば、$ d $ は $ \#E(F)[\operatorname{tors}] $ の関数で割り切られることを示し、レイトクラス体理論およびCM理論から導出する。
• レイトクラス体理論およびCM体の構造を用いて、有理ねじれ点の可能な位数を制限する。
• 解析的整数論の道具、特にホルダーの不等式および除数関数 $ \tau(n) $ の推定を用いて、$ T_{\mathrm{CM}}(d) $ が大きいような次数 $ d $ の数を制限する。
• 最近のルカ、ピサロ＝マダリアガ、ポマランスの結果（$ u\ell + v $ が大きな素因数 $ p-1 $ を持つような素数 $ \ell $ の分布）を活用し、下位順序解析における例外的ケースを制御する。
• 算術級数における素数定理および密度論的議論を用いて、$ \ell \equiv 1 \pmod{3} $ である素数 $ \ell $ に対して $ d = \frac{\ell - 1}{3} $ となる次数の正の割合が、相異なる最大ねじれ位数を生成することを示す。
• ねじれ部分群の位数 $ \#E(F)[\operatorname{tors}] $ の乗法的構造およびねじれ点を含む最小のCM体の次数に関する定理を適用し、写像 $ d \mapsto T_{\mathrm{CM}}(d) $ が正の密度部分集合上で単射であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ d $ の数体上のCM楕円曲線の最大ねじれサイズ $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の下位順序は何か？
• RQ2 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の典型順序は何か？ そして上位順序とどのように比較されるか？
• RQ3 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の平均順序は何か？ また、奇数 $ d $ と無制限の $ d $ においてどのように振る舞うか？
• RQ4 すべてのCM楕円曲線のねじれ部分群が既に $ \mathbb{Q} $ 上に現れるような次数 $ d $ はどれか？（すなわち、「Olson次数」）
• RQ5 次数 $ d $ の数体上のCM楕円曲線のねじれ部分群として現れる、位数 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の有限アーベル群 $ G $ の同型類はいくつあるか？

主な発見

• $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の下位順序は $ \gg d \log \log d $ であり、定数倍の違いを除いて上位順序と一致するため、$ T_{\mathrm{CM}}(d) \asymp d \log \log d $ が最良の意味で成立することが示された。
• 典型順序は $ \asymp d \log \log d $ であり、ほとんどの $ d $ に対して最大ねじれサイズが $ d \log \log d $ のオーダーで増大することを意味する。
• すべての $ d $ における $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の平均順序は $ \asymp d \log \log d $ であり、奇数 $ d $ における平均順序に対しても同様であるため、平均的には一貫した増加が見られる。
• すべてのCMねじれ部分群が既に $ \mathbb{Q} $ 上に現れる「Olson次数」の集合は、正の漸近的密度を持つ。
• $ d \leq x $ に対して $ \gg x / \log x $ 個の異なる $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ の値が存在し、写像 $ d \mapsto T_{\mathrm{CM}}(d) $ は $ d $ の正の密度部分集合上で単射であるため、最大ねじれ部分群は極めて多様であることが示された。