[論文レビュー] Anomalous dimensions from quantum Wilson lines

Mert Beşken, Ashwin Hegde+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、負の宇宙定数を伴う3次元重力のSL(2,R)×SL(2,R)チャーン・シンコスの形式を用いて、AdS₃/CFT₂双対性におけるCFTの一次元的オペレーターの異常次元を摂動的に量子ウィルスン線積分を用いて計算する。1/c²のオーダーまでスケーリング次元h(j,c)を導出し、1/cのオーダーではCFTと整合するが、1/c²のオーダーでは再正規化のあいまいさが生じ、この段階での明確な比較が不可能になる。

ABSTRACT

We study the self-energy of a gravitating point particle in AdS$_3$, and compare to operator dimensions in CFT$_2$. In particular, we compute the one and two loop diagram contributions to the expectation value of an open Wilson line in the SL(2,R)$ imes$ SL(2,R) Chern-Simons formulation of AdS$_3$ gravity. This gives the two-point function of CFT primary operators to second order in a large $c$ expansion, and hence yields the scaling dimension $h(j,c)$ as a function of the SL(2,R) spin $j$. Comparison to CFT is made in the context of constructing Virasoro representations starting from representations of SL(2,R) current algebra. Our Wilson line computations follow the framework advanced recently by Fitzpatrick et. al., which is based on earlier work by H. Verlinde. We encounter some renormalization scheme ambiguities at the two-loop level which we are not able to fully resolve, hampering a definitive comparison with CFT expressions at this order.

研究の動機と目的

• 量子重力補正を用いてAdS₃/CFT₂双対性におけるCFT一次元的オペレーターのスケーリング次元h(j,c)を計算すること。
• AdS₃における点粒子の自己エネルギーを、ウィルスン線積分の期待値を通じて、双対CFTオペレーターの異常次元に関連付けること。
• 有限なcにおける量子補正の下で、SL(2,R)のカレント代数がバーラゾロ代数に還元される一貫性をテストすること。
• 摂動的ウィルスン線積分2点関数の2ループレベルで生じる再正規化スキームのあいまいさを特定・分析すること。

提案手法

• 負の宇宙定数を伴う3次元アインシュタイン重力のSL(2,R)×SL(2,R)チャーン・シンコス形式を用いてAdS₃重力を記述する。
• SL(2,R)のスピン-j表現における開ウィルスン線積分の期待値を通じて、境界CFTオペレーターの2点関数を計算する。
• cを中央電荷として、1/cの摂動展開を2次まで（O(1/c²)）行う。
• フィッツパトリックらおよびヴェルリンデの枠組みを適用し、ボリューム量子補正をCFTの異常次元に関連付ける。
• 運動量空間表現を用いて紫外発散を扱い、ε → 0による正則化を施す。特に、1/(y² + ε²)の因子を含む積分に対して注意深く処理する。
• 留数計算およびsgn(u)と1/(k₁−k₂)を含む積分恒等式を用いて、ネストされた運動量積分を評価し、元の関数を回復するためにz微分の逆演算を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルスン線積分を用いて計算された3次元AdS重力における量子補正は、双対CFT一次元的オペレーターの異常次元をどのように再現するか？
• RQ2 AdS₃における点粒子の摂動的自己エネルギーは、CFTスケーリング次元h(j,c)の1/cおよび1/c²補正とどの程度一致するか？
• RQ3 ウィルスン線積分計算の2ループレベルで生じる再正規化のあいまいさとは何か？それらはCFT結果との比較にどのように影響するか？
• RQ4 量子補正を含めた場合に、チャーン・シンコス形式を通じてボリュームでバーラゾロ代数を一貫して実現できるか？

主な発見

• 1ループ補正におけるスケーリング次元h(j,c)の結果は、既知のCFTの結果h(j,c) = -j - 6j(j+1)/c + ... と一致し、1/cのオーダーでの対応関係が確認された。
• 1/c²のオーダーでは、2ループ図から有限な寄与が得られるが、再正規化スキームのあいまいさのため、発散項と明確に分離できない。
• 1/c²の発散項は、関心のある有限項と同じ関数的形をしているため、追加の制約がなければ、異常次元を明確に抽出することは不可能である。
• 計算から、SL(2,R)カレント代数からバーラゾロ代数への対称性の還元には、量子レベルでも一貫した制約の実装が必要であることが明らかになったが、これは未解決の問題のままである。
• εによる正則化および運動量空間積分の手法は紫外発散をうまく扱ったが、最終的な結果はzに関する多項式までしか決定せず、小z解析によってその多項式が固定された。