[論文レビュー] Anomaly matching and symmetry-protected critical phases in $SU(N)$ spin systems in 1+1 dimensions

Yuan Yao, Chang-Tse Hsieh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1+1次元 $SU(N)$ スピン系における $SU(N)$ 回転対称性および並進対称性をもつ系において、単位格子あたりのヤン・テーブルオブ箱の数を $N$ を法としてとった位相的不変量——異常マッチングを特徴付ける——を確立する。この不変量は、系が一意なギャップを持つ状態を実現できるか、それとも対称性保護された臨界的相（例：$SU(N)$ ヴェス・ズミノ＝ウィッテン理論）に制限されるかを決定する。また、$N' > N$ であるような $SU(N')$ のようなより高い対称性の出現を制約する。主な結果は、異常マッチングを用いた、対称性保護臨界的相の普遍的分類である。

ABSTRACT

We study $(1+1)$-dimensional $SU(N)$ spin systems in the presence of the global $SU(N)$ rotation and lattice translation symmetries. By matching the mixed anomaly of the $PSU(N) imes\mathbb{Z}$ symmetry in the continuum limit, we identify a topological index for spin model evaluated as the total number of Young-tableaux boxes of spins per unit cell modulo $N$, which characterizes the "ingappability" of the system. A nontrivial index implies either a ground-state degeneracy in a gapped phase, which can be regarded as a field-theory version of the Lieb-Schultz-Mattis theorem, or a restriction of the possible universality classes in a critical phase -- the symmetry-protected critical phase, e.g. only a class of $SU(N)$ Wess-Zumino-Witten theories can be realized in the low-energy limit of the given lattice model in the presence of the symmetries. Similar constraints also apply when a higher global symmetry emerges in the model with a lower symmetry. Our prediction agrees with several examples known in previous studies of $SU(N)$ models.

研究の動機と目的

• 1+1次元の $SU(N)$ スピン系が $SU(N)$ 回転対称性および並進対称性をもつ場合の相図に対する普遍的制約を特定すること。
• 異常マッチングを用いて、Lieb-Schultz-Mattisの定理を臨界的相へ拡張すること。
• 対称性の制約の下で、特に $SU(N)$ ヴェス・ズミノ＝ウィッテン理論を含む、臨界的相における可能な普遍性クラスを分類すること。
• 系が一意なギャップを持つ基底状態をもつかどうかを決定する位相的インデックスを導出すること。
• $SU(N)$ 対称性のみをもつモデルにおいて、$N' > N$ であるようなより高いグローバル対称性 $SU(N')$ の出現を制約すること。

提案手法

• 著者らは、フェルミオンのアノマリの計算にFujikawaの方法を用い、連続極限における $PSU(N)$ と $bZ$（並進）対称性の混合 't Hooft アノマリを計算する。
• 異常を特徴付けるために、単位格子あたりのヤン・テーブルオブ箱の総数を $N$ を法としてとった位相的不変量を定義する。この不変量はスピン表現に依存しない。
• 2次元多様体上のディラック作用素のインデックスを用いてアノマリを計算し、位相的インデックス $ olcal{I}_N$ を用いて $\exp(2\pi i \mathcal{I}_N / N)$ の形の位相因子が得られる。
• 格子模型と低エネルギー有効場理論におけるアノマリを比較することで、許容される臨界的相の選択則を導出する。
• WZW理論の $p$ 重複が $p = N' / \gcd(N', k'm')$ のときアノマリフリーであるという事実を用い、LSMインデックスに関する整合性条件を導出する。
• この手法はギャップのある相および臨界的相の両方に適用可能であり、インデックスが一意なギャップを持つ基底状態が可能かどうかを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元の $SU(N)$ スピン系が単位格子あたり分数スピンをもつ場合、$SU(N)$ 対称性および並進対称性のもとで、一意なギャップを持つ基底状態をもてるか？
• RQ2 このような系において、許容される臨界的相の普遍性クラスは何か？ そして、対称性および異常マッチングによってどのように制約されるか？
• RQ3 $SU(N)$ 対称性のみをもつモデルにおいて、$N' > N$ であるような出現的 $SU(N')$ 対称性が現れる可能性はあるか？ もし現れるならば、どのような条件下で現れるか？
• RQ4 単位格子あたりのヤン・テーブルオブ箱の数を $N$ を法としてとった位相的インデックス——$\mathcal{I}_N$——は、基底状態の degeneracy または臨界性の有無をどのように決定するか？
• RQ5 混合 $PSU(N) \times \bbZ$ アノマリは、可能な低エネルギー有効場理論をどのように制限するか？

主な発見

• 単位格子あたりのヤン・テーブルオブ箱の総数を $N$ を法としてとった位相的インデックス $\mathcal{I}_N$ が、系が一意なギャップを持つ基底状態をもてるかどうかを決定する。
• 非自明な $\mathcal{I}_N \neq 0$ は、ギャップのある相において基底状態の degeneracy を示唆するか、特定の臨界的相に制限されることを意味し、Lieb-Schultz-Mattisの定理を一般化する。
• 臨界的相では、異常マッチングの制約により、特定のレベル $k$ をもつ $SU(N)$ ヴェス・ズミノ＝ウィッテン理論のみが実現可能である。
• より高い対称性 $SU(N')$（$N' > N$）の出現は制約される：このような対称性は $\mathcal{I}_N \cdot N' / \gcd(N', k'm') \equiv 0 \mod N$ を満たす場合にのみ出現可能であり、特定の状況では禁止される。
• 異常マッチング条件は、$SU(2)$ 対称性をもつ半整数スピン鎖系において $SU(3)$ 対称性が観測されていない理由を説明する。
• この手法は、$SU(N)$ モデルにおける既知の結果をうまく再現し、対称性保護臨界的相を分類する統一的枠組みを提供する。