[論文レビュー] Applications of integral transforms composition method (ITCM) to wave-type singular differential equations and index shift transmutations

Ahmed Fitouhi, Inèss Jebabli+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Euler–Poisson–Darboux方程式や一般化放射方程式など、ベッセル作用素を含む波型特異微分方程式に対して、移行作用素を構築するための積分変換合成法（ITCM）を提案する。古典的積分変換（フーリエ、ハンケル、ラプラスなど）を組み合わせることで、ITCMは特異な偏微分方程式、特に多変数ベッセル型および超B-放物型方程式に対し、明示的な解表現と接続公式を可能にし、一般化された平行移動作用素と降下作用素を用いて閉形式の解を導出する。

ABSTRACT

In the paper we study applications of integral transforms composition method (ITCM) for obtaining transmutations via integral transforms. It is possible to derive wide range of transmutation operators by this method. Classical integral transforms are involved in the integral transforms composition method (ITCM) as basic blocks, among them are Fourier, sine and cosine-Fourier, Hankel, Mellin, Laplace and some generalized transforms. The ITCM and transmutations obtaining by it are applied to deriving connection formulas for solutions of singular differential equations and more simple non-singular ones. We consider well-known classes of singular differential equations with Bessel operators, such as classical and generalized Euler-Poisson-Darboux equation and the generalized radiation problem of A.Weinstein. Methods of this paper are applied to more general linear partial differential equations with Bessel operators, such as multivariate Bessel-type equations, GASPT (Generalized Axially Symmetric Potential Theory) equations of A.Weinstein, Bessel-type generalized wave equations with variable coefficients,ultra B-hyperbolic equations and others. So with many results and examples the main conclusion of this paper is illustrated: the integral transforms composition method (ITCM) of constructing transmutations is very important and effective tool also for obtaining connection formulas and explicit representations of solutions to a wide class of singular differential equations, including ones with Bessel operators.

研究の動機と目的

• 特異微分方程式にベッセル作用素を含む移行作用素を体系的に構築するための手法を開発すること。
• 積分変換の適用範囲を、変数係数および特異係数を含む波型偏微分方程式に拡張すること。
• 移行作用素を用いて、一般化Euler–Poisson–Darboux方程式およびGASPT方程式の明示的解表現を導出すること。
• 移行作用素を介して、特異および非特異微分方程式の解の間の接続公式を確立すること。
• 古典的手法（例：ポアソンの公式）を、ITCMによって得られる作用素を用いて、高次元および変数係数特異偏微分方程式に一般化すること。

提案手法

• 積分変換合成法（ITCM）は、フーリエ、正弦/余弦フーリエ、ハンケル、メリン、ラプラス、および一般化された変換といった古典的積分変換の合成を用いて、移行作用素を生成する。
• ITCMは、より単純な方程式の解をより複雑な特異偏微分方程式の解へ写像する一般化された平行移動作用素および降下作用素（一次および二次）を構築する。
• ベッセル関数およびガンマ関数を含む積分表現を用いて、異なるベッセルパラメータを持つ方程式間での解の転送を可能にする移行作用素が導出される。
• 本手法は、時間にベッセル作用素を含む方程式（例：EPD）や空間にベッセル作用素を含む方程式（例：一般化波動方程式）に適用可能であり、パラメータの変更に対処するためのインデックスシフト移行作用素が用いられる。
• 対称核および一般化超幾何関数を含む積分公式を用いて解が構築され、特に初期条件が $ f(x) $ および $ g(x) $ で表されるコーシー問題に対して適用される。
• 既知の積分変換を活用して、$ j_{\nu}(z) $ ベッセル関数や $ {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) $ 一般化平行移動作用素を含む明示的解公式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分変換合成法（ITCM）を用いて、ベッセル作用素を含む特異微分方程式の移行作用素を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 ITCMによって生成された移行作用素を用いて、一般化Euler–Poisson–Darboux方程式およびGASPT方程式の明示的解表現をどのように導出できるか？
• RQ3 ITCMによって導出された降下作用素は、異なるベッセルパラメータ $ \mu $ と $ \nu $ を持つ方程式間での解の転送をどのように可能にするか？
• RQ4 ITCMに基づく移行作用素は、どのようにして古典的手法（例：ポアソンの公式）を、高次元および変数係数特異偏微分方程式に一般化するか？
• RQ5 ITCMが、特異係数を含むコーシー問題に対して有効な解を導出できる条件は何か、特に $ \mu = -1, -3, \dots $ の場合にどうか？

主な発見

• ITCMは、空間または時間にベッセル作用素を含む一般化波動方程式を含む広範な特異偏微分方程式クラスに対して、移行作用素を効果的に生成する。
• 降下作用素を用いて、$ (B_{\mu})_x u = (B_{\nu})_t u $ のコーシー問題の明示的解が導出され、解は $ {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) $ およびベッセル関数を含む積分で表現される。
• $ 0 < \mu < \nu $ の場合、$ u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = 0 $ を満たす $ (B_{\mu})_x u = (B_{\nu})_t u $ の解は、 $$ u(x,t;\mu,\nu) = \frac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu-\mu}{2})\Gamma(\frac{\mu+1}{2})} t^{1-\nu} \int_0^t (t^2 - y^2)^{\frac{\nu-\mu}{2}-1} {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) y^{\mu} dy $$ で与えられる。
• $ 0 < \nu < \mu $ の場合、解は $$ u(x,t;\mu,\nu) = \frac{2\Gamma(\mu - \nu)}{\Gamma^2(\frac{\mu - \nu}{2})} \int_t^\infty (y^2 - t^2)^{\frac{\mu - \nu}{2}-1} {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) y dy $$ で与えられ、インデックスシフトの処理における本手法の柔軟性が示される。
• 本手法は、波動方程式に対するポアソンの公式を特異ケースに一般化し、$ 0 < \mu < 1 $ の場合の $ (B_{\mu})_x u = (B_{\mu})_t u $ の解を、$ p \in [0,1] $ における累乗重み付き核を含む積分で表現する。
• 方程式 $ (B_{\mu})_x u = (B_{\nu})_t u + b^2 u $ にスペクトルパラメータ $ b^2 $ を含めると、解は $ j_{\frac{\nu - \mu}{2} - 1}(b\sqrt{t^2 - y^2}) $ を含み、本手法が摂動系に対しても適応可能であることが示される。