[論文レビュー] Approximating permanents and hafnians

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固定された $\delta > 0$ に対して、すべての成分が $\delta$ から 1 の間にある $n\times n$ 実行列のパーマネントの対数を、行列の成分に関する低次の多項式を用いて加法的誤差 $\epsilon$ の範囲で近似する、準多項式時間のアルゴリズムを提示する。この手法は、複素解析とゼロフリー領域を用いて、解析接続および複素スリーブに沿った補間によって多項式近似を保証する。

ABSTRACT

We prove that the logarithm of the permanent of an nxn real matrix A and the logarithm of the hafnian of a 2nx2n real symmetric matrix A can be approximated within an additive error 1 > epsilon > 0 by a polynomial p in the entries of A of degree O(ln n - ln epsilon) provided the entries a_ij of A satisfy delta < a_ij < 1 for an arbitrarily small delta > 0, fixed in advance. Moreover, the polynomial p can be computed in n^{O(ln n - ln epsilon)} time. We also improve bounds for approximating ln per A, ln haf A and logarithms of multi-dimensional permanents for complex matrices and tensors A.

研究の動機と目的

• 実行列のパーマネントの対数を、加法的誤差 $\\epsilon$ の範囲ですべての成分が $\\delta > 0$ で有界である条件下で、決定的かつ準多項式時間で近似するアルゴリズムを開発すること。
• この近似フレームワークを、対称 $2n\times 2n$ 行列のハフニアンおよび複素行列やテンソルへの応用に拡張すること。
• パーマネントやハフニアンがゼロでないことを保証する条件を確立し、複素ゼロフリー領域による解析的近似を可能にする。
• 成分が有界な行列に対するパーマネントおよび多次元パーマネントの近似に関する既存の境界を改善すること。
• 非負および複素パーマネントおよびハフニアンを近似する一般化された手法を、複素解析と多項式補間に基づいて提供すること。

提案手法

• 複素解析を用いて、パーマネントの近似可能性をその複素零点の位置に関連づけ、行列成分の周囲にゼロフリー領域を保証する。
• 実区間 $[0,1]$ を含む複素平面の部分集合 $S \subset \mathbb{C}$（「スリーブ」）を構築し、多項式 $p(z) = \mathrm{per}(J + z(A - J))$ が $S$ 上でゼロにならないようにすることで、解析接続を可能にする。
• スリーブ $S$ 沿いに補間技術を適用し、$p(1) = \mathrm{per}(A)$ を $p^{(k)}(0)$ の導出値を用いて近似する。これらの導出値は $n^{O(k)}$ 時間で計算可能である。
• 次数 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ の多項式 $p$ を定義し、$\delta \leq a_{ij} \leq 1$ を満たすすべての行列に対して $|\ln \mathrm{per} A - p(A)| \leq \epsilon$ が成り立つようにする。
• すべての $i,j$ に対して $|1 - z_{ij}| \leq 0.5$ ならば $\mathrm{per} Z \neq 0$ であるという事実を活用し、解析的近似に適したゼロフリー領域を保証する。
• 生成多項式のゼロフリー領域を解析することで、多次元パーマネントおよびハフニアンへのフレームワークの拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての成分がゼロから離れている実行列のパーマネントの対数は、低次の多項式を用いて加法的誤差 $\epsilon$ の範囲で近似可能か？
• RQ2 行列の成分にどのような条件を課すと、そのパーマネントがゼロではなく、複素補間による解析的近似が可能になるか？
• RQ3 パーマネントの近似フレームワークは、対称行列のハフニアンおよび複素行列や多次元テンソルへと拡張可能か？
• RQ4 成分の有界性 $\delta \leq a_{ij} \leq 1$ の下で、$\ln \mathrm{per} A$ を $\epsilon$ の誤差範囲で近似する最小の多項式次数は何か？
• RQ5 正確な計算の指数的複雑性を回避する、パーマネントを近似する準多項式時間のアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 任意の $\delta > 0$ に対して、$n \times n$ 実行列で成分が $[\delta, 1]$ に含まれるすべての行列について、次数 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ の多項式 $p$ が存在し、$|\ln \mathrm{per} A - p(A)| \leq \epsilon$ を満たす。
• 多項式 $p$ は $n^{O(\ln n - \ln \epsilon)}$ 時間で計算可能であり、これにより準多項式時間アルゴリズムが確立される。
• この手法はハフニアンへも拡張可能である：$2n \times 2n$ 対称行列の $\ln \mathrm{haf} A$ は、次数 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ の多項式を用いて加法的誤差 $\epsilon$ の範囲で近似可能である。
• 複素行列の場合、すべての $i,j$ に対して $|1 - z_{ij}| \leq 0.5$ ならば $\mathrm{per} Z \neq 0$ であり、$\ln \mathrm{per} Z$ の解析的近似が可能である。
• 多次元パーマネントに対してもフレームワークが適用可能である：成分が $[\delta, 1]$ に含まれるテンソルの $d$ 次元パーマネントは、多項式時間で $n^{O(1)}$ の要因の誤差範囲で近似可能である。
• 本手法は、パーマネント多項式がゼロにならない複素スリーブ $S$ を構築することに依存しており、これにより補間と準多項式時間での近似が可能になる。